-
Теоретические сведения
Выпишем
формулы, по которым определяются
количественные характеристики надежности
изделия
Для
экспоненциального закона распределения
времени безотказной работы изделия
справедливы следующие формулы:
| | (2.1) |
| | (2.2) |
| | (2.3) |
| | (2.4) |
| | (2.5) |
Для
нормального
закона распределения времени безотказной
работы изделия справедливы следующие
формулы
| P(t)=0.5-Ф(U) | (2.6) |
| Q(t)=0.5+Ф(U) | (2.7) |
| | (2.8) |
| | (2.9) |
где
Ф(U)
— функция Лапласа:
,
mt
— среднее
временя безотказной работы, σt
— параметр
распределения
Ф(U)
обладает
следующими свойствами
Ф(0)=0;
(2. 10)
Ф(-U)
=-Ф(U) ; (2.11)
Ф(∞)=1.
(2.12)
Значения
функции Лапласа Ф(U)
приведены
в приложении П.1. таблица 3
Значения
функции φ(U)
приведены в приложении П.1. таблица 2
Здесь
mt
— среднее
значение случайной величины Т;
Усеченное нормальное распределение
| Наименование | Формула |
| Плотность | |
| Вероятность | |
| Среднее | |
| Интенсивность | |
| Коэффициент | |
Для
закона распределения Вейбулла времени
безотказной работы изделия справедливы
следующие формулы
| | (2.10) |
| | (2.11) |
| | (2.12) |
| | (2.13) |
| | (2.14) |
где
a,
θ
— параметры закона распределения
Вейбулла. Г(x)
— гамма-функция, значения которой
приведены в приложении П.1.
Для
закона распределения Релея
времени безотказной работы изделия
имеют вид
| | (2.15) |
| | (2.16) |
| | (2.17) |
| | (2.18) |
| | (2.19) |
-
Решение типовых задач.
Задача
2.1.
Время работы элемента до отказа подчинено
экспоненциальному закону распределения
с параметром λ =2.5*10-5
1/час.
Требуется
вычислить количественные характеристики
надежности элемента p(t),q(t),f(t),mt
для t=1000час.
Решение.
Используем формулы (2.1), (2.2), (2.3), (2.25) для
p(t),q(t),f(t),mt
.
1.
Вычислим вероятность безотказной
работы:
.
Используя
данные таблицы П.1 получим
.
2.
Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем
q(1000)=1-p(1000)=0.0247
.
3.
Вычислим частоту отказов
;
1/час.
4.
Вычислим среднее время безотказной
работы
час.
Задача
2. 2.
Время работы элемента до отказа подчинено
нормальному закону с параметрами mt
=8000 час, σt
=2000
час. Требуется вычислить количественные
характеристики надежности p(t),f(t),λ(t)
для
t=10000 час.
Решение.
Воспользуемся формулами (2.6), (2.8),
(2.9),(2.10) для p(t), f(t), λ(t).
1.
Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)=0.5-Ф0(U)
; U=(t-mt)/σt
;
U=(10000-8000)/2000=1;
Ф0(1)=0.3413
по таблице 3 Приложения 1 ;
p(10000)=0.5-0.3413=0.1587.
2. Определим частоту отказа f(t)
.
Введем
обозначение
.
Определим
значение функции φ(U) по таблице Приложения
1, которое составляет 0,242.
Тогда
f(1000)=
φ (1)/2000=0.242/2000=12.110-5
1/час.
3.
Рассчитаем интенсивность отказов λ(t)
λ(t)=f(t)/p(t);
λ(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110-5
/0.1587=76.410-5
1/час.
Задача
2.3.
Время работы изделия до отказа подчиняется
закону распределения Релея. Требуется
вычислить количественные характеристики
надежности изделия p(t),f(t),(t),mt
для t=1000час ,если параметр распределения
σt=1000
час.
Решение.
Воспользуемся формулами (2.15), (2.17),
(2.18),(2.19) для p(t),f(t), λ(t),
,
1.
Вычислим вероятность безотказной работы
p(t)
2.
Определим частоту отказа f(t)
f(1000)=0.606*1000/10002=0.606*10-3
1/час.
3.
Рассчитаем интенсивность отказов
λ(t)=
t/σt
2
;
λ(1000)=
4.
Определим среднее время безотказной
работы изделия
час.
Задача
2.4.
Время безотказной работы изделия
подчиняется закону Вейбулла с параметрами
α=1.5; λ=10-4
1/час,
а время работы изделия t=100 час. Требуется
вычислить количественные характеристики
надежности изделия p(t),f(t),(t),
.
Решение.
1. Определим вероятность безотказной
работы p(t) по формуле (2.18) . Имеем
p(t)=exp(-λtα
); p(100)=exp(-10-4
*
);
p(100)=e-0,1
=0,9048.
2.
Определим частоту отказов f(t)
f(100)=10-4
*1,5*1000,5
*0,90481=35*10-3
1/час.
3.
Определим среднее время безотказной
работы изделия
.
Используя
приложение П.1., получим
mt
=0,90167/0,00215=426 час.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
2.
Время работы изделия до отказа
подчиняется закону распределения Релея (
). Требуется вычислить количественные характеристики
надежности изделия p(t), f(t), λ(t), mt для t=150час, если параметр
распределения σt=100 час. Показать на графиках изменение p(t),
f(t), λ(t), mt.
| Дано: | Решение: |
| t=150час σt=100 час | 1.
2. Определим частоту отказа f(t) f(t)=tp(t)/ σ t2 ; f(100)=10000.325/1502=0.44 3. Рассчитаем интенсивность отказов λ(t)= t/ σ t 2 ; λ (100)=150/1002 =0,015 1/час. 4. Определим среднее время безотказной работы
|
3.
Задача. Дана
система из трёх последовательно соединённых элемента. Имеет место нормальный
закон распределения времени работы до отказа:
с параметрами T1=100ч. , s1=10ч.;T2=150ч., s2 = 15ч.; T3=100ч. , s3 = 20ч.
Требуется вычислить количественные
характеристики надежности ситемы p(t), f(t), λ(t), mt для
t=1500час,
| Дано: | Решение: |
| T1=100ч. , s1=10ч.; T2=150ч., s2 = s3 = 20ч | 1. λ1=1/100=0,01 λ2=1/150=0,06 λ1=1/100=0,01 2. Рс=Р1*Р2*Р3 =0,00032 3. 4. Рассчитаем интенсивность отказов Здесь λ i — интенсивность отказов i -го Здесь λ c — интенсивность отказов 5. Определим среднее время безотказной работы |
7.
Система состоит из трех устройств.
Интенсивность отказов электронного устройства равна λ 1=0,16*10-3
(1/час) (т.е. const). Интенсивности отказов двух устройств зависят от
времени и определяются следующими формулами: λ2=0,2*10-4t
(1/час),
λ
3=0,01*10-6t2 (1/час).Необходимо
рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.
| Дано: | Решение: |
| λ 1=0,16*10-3 λ2=0,2*10-4t (1/час) λ 3=0,01*10-6t t=100ч | Решение. На основании формулы (3.3) имеем
Для t=100 час
|
Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами mt = 8000 час., ϭt =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), mt для t=8000 час.
1) Найдем вероятность безотказной работы, P(t)
Pt=0,5-ФU.
U8000=t-mtσt=0.
Ф0=0.
P8000=0,5-0=0,5.
2) Найдем частоту отказов, f
ft=φ(U)σt.
φU=12×π×e-U22=0,4.
f8000=0,41000=4×10-4 1/ч.
3) Найдем интенсивность отказов, λ
λ8000=f(8000)P(8000)=4×10-40,5=8×10-4 1/ч.
4) Среднее время безотказной работы элемента, mt = 8000 ч.
- Время работы машины до отказа подчинено закону Вейбулла с параметрами к и λ0. Определить
- Время работы объекта до отказа подчиняется закону Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности объекта
- Время работы узла до отказа подчинено экспоненциальному распределению. Требуется определить количественные характеристики надежности Р
- Время фильтрования 20 м3 раствора на рамном фильтр -прессе 2,5 ч. Найти ориентировочно время
- В Республике Калмыкия был принят Закон «О системе органов государственной власти в республике Калмыкия»,
- В республике С., входящей в состав РФ, Республиканским законодательным (представительным) органом государственной власти принято
- В рецепте на очки написано: +1,0 Д и +2,0 Д. Расшифруйте, какие это очки
- Время обработки детали на токарном станке в результате изменения геометрии заточки резцов снизилось по
- Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслуживания распределено по показательному закону , где
- Время приема заказов: воскресенье — четверг с 11.00 до 23.00, пятница — суббота с
- Время работы до отказа каждого элемента системы (см. рис.1) подчинено экспоненциальному закону распределения с
- Время работы до отказа каждого элемента системы (см. рис.2) подчинено экспоненциальному закону распределения с
- Время работы до отказа каждого элемента системы (см. рис.3) подчинено экспоненциальному закону распределения с
- Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Вычислите количественные характеристики ft, Pt,
С этим файлом связано 16 файл(ов). Среди них: МУ+КР++Финансовые+риски+и+методы+управления (3).docx, Принятие решения.docx, Анализ.docx, Управление+коммерческим+банком.pdf, Эффективность+инвестиционных+программ+развития+предприятия (1).p, na-osnovanii-nizheprivedennyh-dannyh-avtomaty.doc, Задания+по+статистике_реш..docx, Metod_Metod_rek_po_vyp_kontr_rab_po_disc_Makro_plan_i_progn_E_20, Задание_на_СРС+1 (1).doc, Бухгалтерский+учет+и+анализ.docx, КОНТРОЛЬНЫЕ+ЗАДАНИЕ.docx+ПМ+03.docx, задача+11.04+(1).docx, задачи (61).docx, эк._реш. (1).docx, Практическое+задания+1+(1).docx, вариант 10.docx и ещё 6 файл(а).
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: ГОСТР 27.102-2021 Надежность в технике Надежность объекта Термин, Качество и надежность ПС.pdf, ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и, Экономичность и надежность системы электроснабжения. Применение , ЛР1 Надежность.docx, Факторы, нарушающие надежность систем электроснабжения и их мате, Практическая работа Надежность ИС.doc, тест надежность.docx, Зеленченко А.П., Цаплин А.Е. Курсовик Надежность подвижного сост, Реферат Надежность.docx
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
Цель работы – изучить методы расчёта количественных характеристик надёжности изделий при различных законах распределения случайных вели- чин.
Теоретические сведения
Выпишем формулы, по которым определяются количественные характе- ристики надежности изделия:
P(t) e
t
(t)dt
0
t
1 f(t)dt;
0
(5.1)
Q(t) 1 P(t);
f(t) dQ(t) dP(t) ;
(5.2)
(5.3)
dt
(t)
dt
f(t) , (5.4)
P(t)
t P(t)dt . (5.5)
0
где Р(t) – вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t;
Q(t) – вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t;
f(t) – частота отказов изделия или плотность вероятности времени безот- казной работы изделия;
λ(t) – интенсивность отказов изделия;
t— средняя наработка до отказа.
Формулы (5.1-5.4) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид:
P(t) et; Q(t) 1 et; f t et;
1.
t
Формулы (5.1, 5.3) для нормального закона распределения времени без- отказной работы изделия примут вид:
tt2
f(t) 1
i
e
2 2 ;
Q(t)
2
t
1 e
tit2
2 2
dt.
Формулы для усечённого нормального распределения:
0
(𝑡−𝑡0)2
𝑓(𝑡) = 𝐶𝑒−
𝜎0√2𝜋
2𝜎2 ;
− 0
𝑡 = 𝑡
𝐶 =1 ;
0
𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
𝜆(𝑡) = 𝑡−𝑡0;
0
𝜎2
0
+𝜎
0
𝑒
𝑡2 2𝜎2;
𝜎ус
= 𝜎0
- √1 + 𝑘 𝑡0 − 𝑘2;
𝜎0
𝑡2
𝑘 = 𝐶𝑒
√2𝜋
−
0
0
2𝜎2.
Формулы (5.1-2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказ- ной работы изделия имеют вид:
Pt e
t b
- i
a ;
Qt 1 e
𝑡𝑏−1
t b
- i
a
−(
;
𝑡)𝑏
𝑓(𝑡) = 𝑏
𝑎𝑏 𝑒
𝑎 ;
𝜆(𝑡)
= 𝑏
𝑎
𝑡𝑏−1;
𝑡 = 𝜆
−
1
𝑏Γ (1 +
1).
𝑏
Формулы (5.1-5.5) для закона распределения Релея времени безотказной работы изделия имеют вид:
𝑡2
− 2
𝑡2
− 2
𝑓(𝑡) =
𝑡
𝜎2
𝑡2
𝑒−2𝜎2;
𝜆(𝑡) = 𝑡 ;
𝜎2
𝑡 = 𝜎√𝜋.
2
Примеры расчёта количественных характеристик надёжности
Задача 1.
Пусть поломка рессор автомобиля подчиняется нормальному закону с па-
раметрами
t 70
тыс. км и σ= 20 тыс. км. Требуется определить характери-
стики надёжности рессор за пробег t= 50 тыс. км.
Решение.
Вероятность отказа рессор определяем через нормированную функцию нормального распределения, для чего вначале определим нормируемое откло-
нение:
z t t 50 70
1 .
20
С учётом того, что Q0(z) 1 Q0(z) 1 Q0(1) 1 0,84 0,16 , вероятность от-
каза равна Qt Q0 (z) 0,16 или 16%.
Вероятность безотказной работы:
P(t) 1 Q(t) 1 0,16 0,84 , или 84%.
Частота отказов:
z
1 t t
1 50 70
ft
.
20 20
С учётом того, что
f(x) = 0,0121.
z z 1 0,2420, частота отказов рессор
Интенсивность отказов:
(t)
f(t) 0,0121
0,0144 .
P(t) 0,84
Задача 2.
Определить пробег рессоры автомобиля, при котором поломки состав- ляют не более 20%, если известно, что t= 70 тыс. км и σ = 20 тыс. км.
Решение.
Вероятность безотказной работы:
P(t) 1 Q(t) 1 0,2 0,8 .
Для Р= 0,8 определим квантиль u0,8:
u0,8 0,842 .
Таким образом, ресурс рессоры для вероятности отказа Q= 0,2 опреде- лится из выражения:
t0,2 t u0,8 70 20 0,842 53,16
тыс. км.
Задача 3.
Пусть отказы подчиняются усеченному нормальному закону с парамет- рами t0 = 2000 ч и σ0 = 900 ч. Требуется определить характеристики надёжно- сти за t = 1000 ч.
Решение.
𝑄(𝑡) = 𝐶 ∫∞ 𝑒
0
𝜎 √2𝜋 𝑡
(𝑡−𝑡0)2
− 2
2𝜎0 𝑑𝑡 =
0,5−𝑄0(𝑡−𝑡0)
𝜎0 =
0
0,5+𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
0,5−𝑄 (
1000−2000
)
0
900
0,5+𝑄 (2000)
0
900
= 0,5−0,1335 = 0,25;
0,5+0,9861
𝐶 = 1
0
𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
= 1
0
𝑄 (
2000
)
900
𝑡2
= 1
0,9861
= 1,014;
2
𝜎 −
0
900
2000
𝑡 = 𝑡
+
0
𝑒
2𝜎2 = 2000 + 𝑒−
С этим файлом связано 16 файл(ов). Среди них: МУ+КР++Финансовые+риски+и+методы+управления (3).docx, Принятие решения.docx, Анализ.docx, Управление+коммерческим+банком.pdf, Эффективность+инвестиционных+программ+развития+предприятия (1).p, na-osnovanii-nizheprivedennyh-dannyh-avtomaty.doc, Задания+по+статистике_реш..docx, Metod_Metod_rek_po_vyp_kontr_rab_po_disc_Makro_plan_i_progn_E_20, Задание_на_СРС+1 (1).doc, Бухгалтерский+учет+и+анализ.docx, КОНТРОЛЬНЫЕ+ЗАДАНИЕ.docx+ПМ+03.docx, задача+11.04+(1).docx, задачи (61).docx, эк._реш. (1).docx, Практическое+задания+1+(1).docx, вариант 10.docx и ещё 6 файл(а).
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: ГОСТР 27.102-2021 Надежность в технике Надежность объекта Термин, Качество и надежность ПС.pdf, ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и, Экономичность и надежность системы электроснабжения. Применение , ЛР1 Надежность.docx, Факторы, нарушающие надежность систем электроснабжения и их мате, Практическая работа Надежность ИС.doc, тест надежность.docx, Зеленченко А.П., Цаплин А.Е. Курсовик Надежность подвижного сост, Реферат Надежность.docx
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ ИЗДЕЛИЯ
Цель работы – изучить методы расчёта количественных характеристик надёжности изделий при различных законах распределения случайных вели- чин.
Теоретические сведения
Выпишем формулы, по которым определяются количественные характе- ристики надежности изделия:
P(t) e
t
(t)dt
0
t
1 f(t)dt;
0
(5.1)
Q(t) 1 P(t);
f(t) dQ(t) dP(t) ;
(5.2)
(5.3)
dt
(t)
dt
f(t) , (5.4)
P(t)
t P(t)dt . (5.5)
0
где Р(t) – вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t;
Q(t) – вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t;
f(t) – частота отказов изделия или плотность вероятности времени безот- казной работы изделия;
λ(t) – интенсивность отказов изделия;
t— средняя наработка до отказа.
Формулы (5.1-5.4) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид:
P(t) et; Q(t) 1 et; f t et;
1.
t
Формулы (5.1, 5.3) для нормального закона распределения времени без- отказной работы изделия примут вид:
tt2
f(t) 1
i
e
2 2 ;
Q(t)
2
t
1 e
tit2
2 2
dt.
Формулы для усечённого нормального распределения:
0
(𝑡−𝑡0)2
𝑓(𝑡) = 𝐶𝑒−
𝜎0√2𝜋
2𝜎2 ;
− 0
𝑡 = 𝑡
𝐶 =1 ;
0
𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
𝜆(𝑡) = 𝑡−𝑡0;
0
𝜎2
0
+𝜎
0
𝑒
𝑡2 2𝜎2;
𝜎ус
= 𝜎0
- √1 + 𝑘 𝑡0 − 𝑘2;
𝜎0
𝑡2
𝑘 = 𝐶𝑒
√2𝜋
−
0
0
2𝜎2.
Формулы (5.1-2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказ- ной работы изделия имеют вид:
Pt e
t b
- i
a ;
Qt 1 e
𝑡𝑏−1
t b
- i
a
−(
;
𝑡)𝑏
𝑓(𝑡) = 𝑏
𝑎𝑏 𝑒
𝑎 ;
𝜆(𝑡)
= 𝑏
𝑎
𝑡𝑏−1;
𝑡 = 𝜆
−
1
𝑏Γ (1 +
1).
𝑏
Формулы (5.1-5.5) для закона распределения Релея времени безотказной работы изделия имеют вид:
𝑡2
− 2
𝑡2
− 2
𝑓(𝑡) =
𝑡
𝜎2
𝑡2
𝑒−2𝜎2;
𝜆(𝑡) = 𝑡 ;
𝜎2
𝑡 = 𝜎√𝜋.
2
Примеры расчёта количественных характеристик надёжности
Задача 1.
Пусть поломка рессор автомобиля подчиняется нормальному закону с па-
раметрами
t 70
тыс. км и σ= 20 тыс. км. Требуется определить характери-
стики надёжности рессор за пробег t= 50 тыс. км.
Решение.
Вероятность отказа рессор определяем через нормированную функцию нормального распределения, для чего вначале определим нормируемое откло-
нение:
z t t 50 70
1 .
20
С учётом того, что Q0(z) 1 Q0(z) 1 Q0(1) 1 0,84 0,16 , вероятность от-
каза равна Qt Q0 (z) 0,16 или 16%.
Вероятность безотказной работы:
P(t) 1 Q(t) 1 0,16 0,84 , или 84%.
Частота отказов:
z
1 t t
1 50 70
ft
.
20 20
С учётом того, что
f(x) = 0,0121.
z z 1 0,2420, частота отказов рессор
Интенсивность отказов:
(t)
f(t) 0,0121
0,0144 .
P(t) 0,84
Задача 2.
Определить пробег рессоры автомобиля, при котором поломки состав- ляют не более 20%, если известно, что t= 70 тыс. км и σ = 20 тыс. км.
Решение.
Вероятность безотказной работы:
P(t) 1 Q(t) 1 0,2 0,8 .
Для Р= 0,8 определим квантиль u0,8:
u0,8 0,842 .
Таким образом, ресурс рессоры для вероятности отказа Q= 0,2 опреде- лится из выражения:
t0,2 t u0,8 70 20 0,842 53,16
тыс. км.
Задача 3.
Пусть отказы подчиняются усеченному нормальному закону с парамет- рами t0 = 2000 ч и σ0 = 900 ч. Требуется определить характеристики надёжно- сти за t = 1000 ч.
Решение.
𝑄(𝑡) = 𝐶 ∫∞ 𝑒
0
𝜎 √2𝜋 𝑡
(𝑡−𝑡0)2
− 2
2𝜎0 𝑑𝑡 =
0,5−𝑄0(𝑡−𝑡0)
𝜎0 =
0
0,5+𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
0,5−𝑄 (
1000−2000
)
0
900
0,5+𝑄 (2000)
0
900
= 0,5−0,1335 = 0,25;
0,5+0,9861
𝐶 = 1
0
𝑄 (𝑡0 )
𝜎0
= 1
0
𝑄 (
2000
)
900
𝑡2
= 1
0,9861
= 1,014;
2
𝜎 −
0
900
2000
𝑡 = 𝑡
+
0
𝑒
2𝜎2 = 2000 + 𝑒−
2 = 2030 ч;
ус 0
𝑄 (𝑡0 )∙√2𝜋
0
𝜎0
0,9861∙
√2𝜋
2∙900
𝜎 = 𝜎
∙ √1 + 𝑘 𝑡0 − 𝑘2 = 900 ∙ √1 + 0,0342 ∙ 2000 − 0,03422 = 933 ч;
ус 0
𝜎0
𝐶
𝑡2
1,014
20002
900
𝑘 = 𝑒
2𝜎2 = 𝑒−
− 0 
2 = 0,0342.
Пусть интенсивность отказов подшипников скольжения λ = 0,005 отка- зов/1000 км. Определить характеристики надёжности подшипника за пробег 10 тыс. км, если известно, что отказы подчиняются экспоненциальному за- кону. За 150 тыс. км.
Решение.
P(t) et
e0,00510 0,9512 .
Т.е. за 10 тыс. км можно ожидать, что откажут около 5 подшипников из
100.
Надёжность для любых других 10 тыс. км будет та же самая. Какова
надёжность подшипника за пробег 150 тыс. км?
P(t) et
e0,005150 0,4724 .
Частота отказов:
— при пробеге 10 тыс. км:
f t et
0,005 e0,00510 0,0048
тыс. км-1;
— при пробеге 150 тыс. км:
f t et
0,005 e0,005150 0,0024
тыс. км-1.
Задача 5.
Используя условие вышеописанной задачи определить вероятность без- отказной работы за 10 тыс. км между пробегами 150 и 160 тыс. км и наработку на отказ.
Решение.
P(t) et
e0,005(160150) 0,9512 .
Наработка на отказ равна: t 1
1
0,005
200
тыс. км.
Задача 6.
При каком пробеге откажут 10 передач редукторов из 100, т.е. Р(х) = 0,9?
Решение.
0,9 e
- t
200 ;
ln 0,9
t ;
200
t 200 ln 0,9 21
тыс. км.
Задача 7.
Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности из- делия P(t), f(t), λ(t), 𝑡 для t = 1000 ч, если параметр распределения σ= 1000 ч.
𝑃(𝑡) = 𝑒
2𝜎
= 𝑒
2∙1000
= 0,606;
𝑓(𝑡) =
𝑡
𝜎2
𝑡2
𝑒−2𝜎2 =
1000
10002
∙ 0,606 = 0,606 ∙ 10−3 ч-1;
𝜆(𝑡) = 𝑡
𝜎2
= 1000
10002
= 10−3 ч-1;
𝑡 = 𝜎√𝜋 = 1000 ∙ √𝜋 = 1253 ч.
2 2
Задача 8.
Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с пара- метрами b= 1,5; a= 1000 час, а время работы изделия t= 100 час. Требуется
вычислить количественные характеристики надежности изделия P(t), f(t), λ(t),
𝑡.
Pt e
a e 1000
0,97 ;
𝑓(𝑡) = 𝑏
𝑡𝑏−1
𝑎𝑏
𝑡 𝑏
𝑒
−( )
𝑎
= 1,5 ∙
1001,5−1
10001,5
−(
100
1,5
)
𝑒 1000
= 4,6 ∙ 10−4 ч-1;
𝜆(𝑡) = 𝑏
𝑎𝑏
𝑡𝑏−1 = 1,5 10001,5
∙ 1001,5−1 = 4,74 ∙ 10−4 ч-1;
Задача 9.
𝑡 = 𝜆
−
1
𝑏Γ (1 +
1) = 0,015
𝑏
1
−
1,5Г (1 +
1
1,5
) = 18,2 ч.
В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов по- лучена в виде: 𝑓(𝑡) = 𝐶1𝜆1𝑒−𝜆1𝑡 + 𝐶2𝜆2𝑒−𝜆2𝑡. Требуется определить количе- ственные характеристики надежности: P(t), λ(t), 𝑡.
Решение.
- Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (5.1) имеем:
𝑃(𝑡) = 1 − ∫𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1 − (∫𝑡 𝐶 𝜆
𝑒−𝜆1𝑡𝑑𝑡 + ∫𝑡 𝐶 𝜆
𝑒−𝜆2𝑡𝑑𝑡) =
= 1 −
−𝐶
0
𝑒−𝜆1𝑡 𝑡
−𝜆2𝑡 𝑡
0 1 1
0 2 2
−𝜆1𝑡
−𝜆2𝑡
( 1 |0 − 𝐶2𝑒 | 0) = 1 − (−𝐶1𝑒 + 𝐶1 − 𝐶2𝑒
+ 𝐶2) =
= 1 − (𝐶1 + 𝐶2) + 𝐶1𝑒−𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒−𝜆2𝑡.
0
Вычислим сумму С1+ С2. Так как ∫∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1, то
∫∞ 𝐶 𝜆
𝑒−𝜆1𝑡𝑑𝑡 + ∫∞ 𝐶 𝜆 𝑒−𝜆2𝑡𝑑𝑡 = 𝐶 + 𝐶
= 1.
𝑃(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒−𝜆2𝑡.
- Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по формуле:
𝜆(𝑡) = 𝑓(𝑡) = 𝐶1𝜆1𝑒−𝜆1𝑡+𝐶2𝜆2𝑒−𝜆2𝑡.
𝑃(𝑡)
𝐶1𝑒−𝜆1𝑡+𝐶2𝑒−𝜆2𝑡
- Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основа- нии формулы (5.5) будем иметь:
𝑡 = ∫∞ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐶
∫∞ 𝑒−𝜆1𝑡𝑑𝑡 + 𝐶
∫∞ 𝑒−𝜆2𝑡𝑑𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2.
При наблюдении за длительной период работы станции обслуживания установлено, что число автомобилей, прибывающих на станцию, в среднем со- ставляет 2 автомобиля в час. Определить вероятность поступления на станцию не более 8 автомобилей за t = 8 ч работы станции.
Решение.
a t 28 16
автомобилей.
m8 a 16 16 16a16 16 16
m 1 2 8
F(m 
e e e … e 0,021987 .
i1 m! 1! 2! 8!