гиромагнитное отношение для орбитального движения электрона равно

Магнитный момент атома. Гиромагнитное отношение

Рис. 2. Круговой контур с током в неоднородном поле

Если поле неоднородно, то кроме сил, растягивающих или сжимающих кольцо, появляются силы, направленные в данной конфигурации вниз (рис. 3).

Рис. 3.43. Силы, действующие на кольцо с током в магнитном поле:

в однородном поле силы направлены вдоль радиуса и растягивают контур (а), в неоднородном поле (б) появляется составляющая В_r магнитной индукции и появляется сила, действующая вдоль оси Z

Так как поле симметрично, то результирующая всех сил, действующих на элементы с током в направлении оси равна:

(1)

Для вычисления составляющей воспользуемся тем, что для магнитного поля , т. е. поток силовых линий вектора через замкнутую поверхность равен нулю. Вычислим поток силовых линий через поверхность небольшого цилиндра радиусом и высотой (рис. 4).
С точностью до членов первого порядка малости имеем:

Первое слагаемое в этом выражении определяет величину потока через боковую поверхность цилиндра. Второе — представляет величину результирующего потока через основания цилиндра.

Отсюда вытекает, что

Рис.4. К вычислению потока вектора

Следовательно, величину силы, действующей на контур в вертикальном направлении, можно выразить следующим образом:

(2)

Магнитный момент кольца направлен вверх, а сила, действующая на кольцо, направлена вниз. Очевидно, что, изменив направление тока, мы изменим и направление силы.

Итак, мы можем сделать следующее заключение.

1. Если магнитный момент параллелен вектору внешнего неоднородного поля, то сила действует в направлении увеличения магнитной индукции внешнего поля. Контур втягивается в соленоид.

2. Если магнитный момент антипараллелен вектору , то сила действует в направлении уменьшения магнитной индукции. Контур выталкивается из соленоида.

3.Если поле однородное, то сила, действующая в вертикальном направлении, равна нулю.

Теперь у нас появляется возможность объяснить результаты опытов, описанных выше, по крайней мере, на качественном уровне. Можно предположить, что вещество, втягивающееся в соленоид, содержит частицы, магнитные моменты которых параллельны вектору . Вещество, которое выталкивается из соленоида, содержит частицы, магнитные моменты которых направлены противоположно вектору .

Теперь нам нужно понять: почему в одних веществах эти моменты параллельны вектору , а в других наоборот? Это мы и попытаемся
сделать.

Достаточно очевидно, что поведение магнетика в магнитном поле должно быть связано с внутренней структурой самого вещества. Поскольку вещество состоит из атомов и молекул, то, следует, оставаясь в рамках классической физики, вновь обратиться к модели атома.

Атом любого элемента является электронейтральным. Положительный заряд атома сосредоточен в ядре, а отрицательный заряд определяется электронами, число которых в точности равно числу протонов. Электроны являются материальными точками, имеющими заряд и массу , и вращаются вокруг неподвижного ядра по круговым орбитам.

Движение электрона по орбите представляет собой электрический ток. Поэтому электрон, вращающийся по орбите, создает магнитное поле. Другими словами, это приводит к появлению магнитного момента атома.

В рамках классической модели возможное наличие магнитного момента атома обусловлено лишь движением электронов по орбите. В классической физике это является единственным элементом, определяющим поведение атома в магнитном поле.

Для введения основных понятий рассмотрим атом водорода, в состав которого входит один протон и, движущийся вокруг него по круговой орбите радиуса , один электрон (рис.5).

Вычислим силу кругового тока, обусловленного движением электрона по круговой орбите. По определению, сила тока — это количество заряда, протекшего через поперечное сечение за единицу времени. В данном случае электрон за 1 секунду пересечет воображаемое сечение раз, где — частота вращения электрона. Поэтому имеем:

(3)

Здесь — период вращения, а — линейная скорость электрона.

В атоме водорода электрон вращается вокруг ядра с частотой, равной примерно Поэтому сила кругового тока равна

Магнитный момент электрона, обусловленный вращением вокруг ядра, равен:

(4)

Направление вектора определяется правилом правого винта, но поскольку электрон — отрицательно заряженная частица, то направление вектора магнитного момента такое, как показано на рис.5. Данный магнитный момент принято называть орбитальным магнитным моментом электрона.

Движущийся по круговой орбите электрон обладает моментом импульса, который равен:

,

где — радиус орбиты, — масса электрона, — его линейная скорость. Вектор направлен противоположно вектору, а его величина равна:

. (5)

Здесь мы использовали связь линейной и угловой скоростей движения по круговой орбите , и связь угловой скорости с периодом вращения .

Теперь нетрудно найти отношение:

. (6)

Это отношение магнитного момента электрона к его механическому моменту количества движения называется гиромагнитным (магнитомеханическим) отношением орбитальных моментов электрона. Мы считали, что электрон движется по круговой орбите, но можно показать, что такое же соотношение справедливо и при движении электрона по эллиптической орбите.

Соотношение (6) сыграло фундаментальную роль в развитии всей физики. Гиромагнитное отношение указывает на наличие связи между магнитными и механическими свойствами магнетика. Действительно, если изменились его магнитные свойства, то это должно привести к изменению механических свойств. Справедливо и обратное — изменение механических свойств должно привести к намагничению магнетика.

Впервые в опытах Эйнштейна и де Гааза было показано, что намагничение магнетика в виде железного стержня, помещенного в магнитное поле соленоида, приводит к его вращению. В опытах Барнетта было установлено, что быстрое вращение железного образца приводит к его намагничению. Мы намеренно выделили материал магнетика. Результаты этих опытов позволили определить значение гиромагнитного отношения для железа. Оказалось, что это значение примерно в два раза больше, чем это следует из формулы (6).

Эти данные показывают, что магнитные свойства железа нельзя объяснить наличием лишь орбитальных магнитных моментов электронов. Дальнейший ход развития физики привел к необходимости высказать гипотезу о наличии у электрона собственного внутреннего механического момента количества движения. Этот момент получил название спин электрона. На первом этапе электрон представлялся в виде заряженного вращающегося шара. Отсюда и появилось название спин (to spin — вращаться). Было показано, что значение собственного гиромагнитного отношения для электрона в атоме равно

.

Весь ход развития современной физики полностью подтвердил гипотезу о спине. В настоящее время под спином следует понимать внутреннее свойство самого электрона, такое же как, например, его масса и заряд.

Таким образом, полный механический момент электрона представляет векторную сумму орбитального механического момента электрона и его спина (собственного механического момента) . Полный магнитный момент электрона также представляет собой векторную сумму магнитного момента электрона из-за его орбитального движения и собственного магнитного момента электрона .

На примере атома водорода мы ввели понятия момента количества движения одного электрона, его спина и определили гиромагнитное соотношение. Однако одним электроном обладает только атом простейшего элемента — водорода. Для других элементов количество электронов определяется зарядовым числом данного элемента. В этом случае магнитный момент атома равен векторной сумме магнитных моментов всех электронов его составляющих:

, (7)

где — полный магнитный момент -го электрона. При этом данная сумма может в ряде случаев равняться нулю. Анализируя даже эти, неполные данные, можно сделать вывод, что изучение поведения магнетиков в магнитном поле дает гораздо больше сведений
о строении материи, чем изучение поведения вещества в электрических
полях.

Источник

Гиромагнитное отношение для орбитального движения электрона равно

Проблема атома водорода и водородоподобных ионов не исчерпывается моделью кулоновского поля. Различные физические факторы приводят к частичному снятию вырождения по орбитальному квантовому числу. В этой главе мы рассмотрим два из них: спин–орбитальное взаимодействие и увеличение массы движущегося электрона. Для учёта первого процесса необходимо ввести понятие внутреннего магнитного момента электрона, тесно связанного с его собственным механическим моментом, или спином. Внутренний момент был открыт в специально поставленных опытах по исследованию магнитомеханических явлений. По своим проявлениям он значительно отличается от рассмотренного в двенадцатой главе орбитального момента.

18.1. Магнитомеханические явления

Движущийся по замкнутой орбите электрон, подобно электрическому току, возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле, равное полю магнита с моментом

где S — площадь, охватываемая орбитой электрона, а τ — период обращения. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется напряжённостью поля Н и магнитным моментом атома μ. Перепишем формулу (1.3.3) первой главы:

.

В силу пропорциональности магнитного и механического моментов это означает зависимость энергии от проекции орбитального момента, или, иными словами, — снятие вырождения по магнитному квантовому числу. Перейдём к количественному описанию в рамках классической механики.

Площадь кеплерова эллипса можно выразить через момент вращения

,

откуда следует связь между модулями механического и магнитного моментов электрона:

.

Магнитный момент любой заряженной частицы направлен вдоль той же прямой, что и механический, причём у частицы с отрицательным зарядом — в противоположную сторону. Величина

называется гиромагнитным отношением. Из (1.1) следует, что в случае орбитального движения электрона его гиромагнитное отношение равно

Все полученные здесь результаты могут быть кратко изложены в векторной форме:

Знак перед γ определяется зарядом частицы. Например, у электрона он отрицательный. Отметим, что (1.4) непосредственно получается из общих определений механического и магнитного моментов:

Здесь m — масса частицы, q — её заряд (для электрона m = m_e, q = –e).

Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно проверялось в разных экспериментах. На рис.18.1.1 схематически изображён опыт Эйнштейна и де Гааза.

Стержень из вещества с парамагнитными свойствами подвешивался на кварцевой нити с прикреплённой к ней зеркальцем. Стержень помещался внутри катушки, по которой пропускали переменный ток. Зеркало освещается узконаправленным пучком света, который отражается на экране в виде светового пятна. Если частота тока совпала с частотой крутильных колебаний, то пятно расплывается в полоску света. Этот опыт показал, что электроны обладают одновременно магнитным и механическим моментами.

Барнетт выполнил в некотором смысле обратный эксперимент. В нём раскручивался, а потом быстро останавливался проводящий цилиндр. В момент остановки в образце появлялся электрический ток.

Магнитный момент квантуется аналогично механическому. Подставляя в (1.1) условие квантования (15.1.7) и меняя обозначение n_φ на m_l, получим

Знак здесь, в отличие от (1.4), не имеет значения, так как квантовое число m_l принимает равные по модулю положительные и отрицательные значения.

Таким образом, магнитный момент стационарной орбиты является целым кратным от магнетона Бора (1.3.4). В силу (1.4) связь между абсолютной величиной и проекцией момента (12.3.5), распространяется и на магнитный момент атома. Следовательно, проекция вектора μ на направление внешнего магнитного поля может иметь 2l+1 значение.

Сказанное иллюстрирует рис.18.1.2.

Важную роль в развитии атомной физики сыграли опыты Штерна и Герлаха по исследованию отклонения атомных пучков в неоднородном магнитном поле. Схема опыта приведена на рис.18.1.3. В сосуде, где создан глубокий вакуум, печка K испускает атомы некоторого химического элемента. С помощью диафрагм B и B’ создаётся резко ограниченный

,

Опыты Штерна и Герлаха действительно обнаружили расщепление атомного пучка и, тем самым, подтвердили квантование момента. Они же показали, что атомы иногда проявляют свойства, необъяснимые в модели орбитального момента. В экспериментах с водородом, щелочными металлами, серебром, золотом отсутствовала несмещённая компонента, и число пучков оказывалось равным двум, то есть, чётным. У всех перечисленных элементов собственный орбитальный момент равен нулю, поэтому следовало ожидать только одной — несмещённой компоненты. Кроме того, расстояние между следами пучков на фотопластинке в этих случаях становилось вдвое больше.

На рис. 18.1.4 приведены два случая. Слева — расщепление, объясняемое в модели орбитального момента при l =2: видно пять компонент с несмещённым пучком в центре. Справа — расщепление на два пучка, причём тому же самому значению магнитного поля отвечает вдвое бóльшее расстояние между ними, чем на левом рисунке.

18.2 Внутренний момент электрона

Чётное число проекций момента возможно только в том случае, если его абсолютная величина имеет полуцелое значение. В 1925 г. Уленбек и Гаудсмит предложили гипотезу спина, или внутреннего момента электрона. По аналогии с l введём безразмерный вектор s, абсолютная величина которого может быть равна нулю и положительному целому либо полуцелому числу:

(2.1) s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, …

Целому значению s, как и l, соответствует нечётное число проекций, среди которых обязательно присутствует компонента, равная нулю. В случае полуцелого спина набор проекций получается чётным, и нулевой компоненты нет. Результаты опытов Штерна и Герлаха для перечисленных выше элементов получают своё объяснение при s = ½.

Гиромагнитное отношение электрона γ_e в случае внутреннего момента вдвое больше, чем для орбитального:

Спин — новая характеристика частицы, наряду с массой и зарядом. Он является более фундаментальной величиной, чем орбитальный момент, который может принять разные значения, в зависимости от условий эксперимента. Спин любой частицы всегда сохраняет своё значение, меняться может лишь его проекция на выбранное направление.

Итак, внутренний механический момент системы выражается через безразмерный вектор s:

квадрат модуля которого равен

Спину s соответствует набор проекций, аналогичный (12.3.5):

но s может принимать полуцелое значение и тогда среди чисел ряда (2.4) отсутствует нуль.

В отличие от орбитального момента, спин любой системы частиц ограничен. Поэтому при переходе в классическую область он стремится к нулю вместе с постоянной Планка. Таким образом, спин является чисто квантовым понятием, не имеющим аналога в классической механике.

18.3 Волновая функция с учётом спина

Полное определение состояния частицы подразумевает указание не только её координат, но и направления спина. Последнюю задачу выполняет переменная спина σ. Она пробегает весь возможный набор проекций s z при заданном значении s. Таким образом, волновая функция зависит от четырёх переменных:

Суммирование ведётся по всем возможным проекциям спина. Если вероятность частице иметь то или иное значение s z не зависит от её координат, то волновую функцию (3.2) можно представить в виде произведения:

Здесь ψ( r ) — координатная волновая функция (только её мы и рассматривали во всём предыдущем материале), а столбец

описывает спин. Квадраты модулей компонент c ₁ и c ₂ равны вероятностям того, что проекция спина равна +½ и –½, соответственно. Условие нормировки спиновой части волновой функции описывается равенством:

Действительно, (3.5) означает, что в данном состоянии электрон имеет проекцию спина m s с вероятностью , а вероятность иметь другую проекцию, согласно свойствам символа Кронекера, равна нулю. Чтобы не перегружать запись сложными индексами в одной строке, мы ввели дополнительное обозначение:

В дальнейшем мы будем пользоваться обеими системами обозначений для символа Кронекера.

18.4 Полный момент электрона

Внутренний s и орбитальный l моменты электрона складываются в его полный момент j :

Возможные значения j при заданных l и s определяются правилом сложения моментов. Проекция момента j z просто равна сумме проекций l z и s z :

Формулу (4.2) иллюстрирует рис.18.4.1:

Сначала рассмотрим случай равного нулю орбитального момента. Его проекция принимает единственное (нулевое) значение, следовательно, проекция полного момента повторяет значения проекции спина, их два:

Две такие проекции может иметь только момент, равный половине:

1. l =1. Выпишем в таблицу все 6 возможных значений суммы m l + m s :

Источник