гиперболический косинус в комплексной форме

Содержание:

11 Основные функции комплексной переменной

Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда

— разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и

(exp z)’=exp z; exp 0=1. (2)

Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

11.1 Тригонометрические и гиперболические функции

Синусом комплексного переменного называется функция

Косинус комплексного переменного есть функция

Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:

Отметим некоторые свойства вновь введеных функций.

Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Доказательство основного гиперболического тождества.

Основное тригонометрическое тождество следует из оновного гиперболического тождества при учете связи тригонометрических и гиперболических функций (см. свойство Б)

Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:

(cos z)’=-sin z; (sin z)’=cos z; (ch z)’=sh z; (sh z)’=ch z.

Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.

Применяя формулы суммы, получаем

З. Разложения на действительную и мнимую части:

Если однозначная аналитическая функция f(z) отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.

Следствием предыдущего свойства является

К. Область значений. Область значений функций cos z, sin z, ch z, sh z есть все поле комплексных чисел.

Функция tg z=sin z /cos z называется тангенсом, а функция th z= sh z/ ch z называется гиперболическим тангенсом. Производные тангенсов вычисляются c использованием известного правила «производная отношения»:

Область допустимых значений тангенса tg z есть многосвязная область ℂ \ <π /2+πk | k∈ ℤ >

12 Аргумент комплексного числа

Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число ? ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i? ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.

Источник

Гиперболические функции комплексного числа

Расчетное комплексное число(радианы или градусы)

Точность вычисления от 1 до 14

Гиперболический синус числа

Гиперболический косинус числа

Гиперболический тангенс числа

Гиперболический котангенс числа

Если исходное число было в градусах, то

Гиперболический синус числа (если заданное число было в градусах)

Гиперболический косинус числа (если заданное число было в градусах)

Гиперболический тангенс числа (если заданное число было в градусах)

Гиперболический котангенс числа (если заданное число было в градусах)

В статье рассматривается способы расчета и выдача значений гиперболических фунций от комплесного числа

Гиперболический синус комплексного числа

Если представить комплексное число как $gif$

То гиперболический синус числа, выраженный через экспоненту комплексного числа

$gif$

Гиперболический косинус комплексного числа

То гиперболический косинус числа, выраженный через экспоненту

Введите в поле число, комплексное или вещественное и программа выдаст результат

Гиперболический тангенс комплексного числа

То гиперболический тангенс числа, выраженный через гиперболический синус и гиперболический косинус

Гиперболический котангенс КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Гиперболический котангенс комплексного числа решается как обратная величина гиперболического тангенса.

Источник

Основные гиперболические функции:

из которых получены:

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

Определения дифференциальных уравнений

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характерные свойства

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:

площадь знак равно ∫ а б шиш ⁡ Икс d Икс знак равно ∫ а б 1 + ( d d Икс шиш ⁡ Икс ) 2 d Икс знак равно длина дуги. <\ displaystyle <\ text > = \ int _ ^ \ cosh x \, dx = \ int _ ^ <\ sqrt <1+ \ left (<\ frac > \ ch x \ right) ^ <2>>> \, dx = <\ text <длина дуги.>>> $svg$

Гиперболический тангенс

Полезные отношения

Нечетные и четные функции:

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

У одного также есть

для других функций.

Суммы аргументов

Формулы вычитания

Формулы половинного аргумента

Квадратные формулы

Неравенства

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Производные

Вторые производные

Стандартные интегралы

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

Выражения ряда Тейлора

Сравнение с круговыми функциями

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

Связь с экспоненциальной функцией

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

Гиперболические функции для комплексных чисел

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

Источник

Математика

In the coming weeks, this wiki’s URL will be migrated to the primary fandom.com domain. Read more here

Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

Определение

Определение гиперболических функций через гиперболу

Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

Геометрическое определение

Ввиду соотношения $png$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $png$ ( $png$ , $png$ ). При этом аргумент $png$ , где $png$ — площадь криволинейного треугольника $png$ , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $png$ , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$png$ .

Важные тождества

Разложение в степенные ряды

Здесь $png$ — числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $png$ , где $png$ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $png$ , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

$png$ — обратный гиперболический синус: $png$ $png$ — обратный гиперболический косинус $png$ — обратный гиперболический тангенс $png$ — обратный гиперболический котангенс $png$ — обратный гиперболический секанс $png$ 0\end>\right.>»/> — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$png$ $png$ 1>»/> $png$

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Ссылки

cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion

Источник

функции

просто

Вычисляет модуль комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, модуль которого нужно определить.

Возвращаемое значение

Модуль комплексного числа.

Remarks

Модуль комплексного числа — это мера длины вектора, представляющего комплексное число. Модуль комплексного числа a + bi — это sqrt (a 2 + b 2 ), пишется как |a + bi|. Норма комплексного числа a + bi — это (a 2 + b 2 ), так что модуль комплексного числа — это квадратный корень из его нормы.

Пример

ACOSH

Извлекает аргумент из комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, аргумент которого нужно определить.

Возвращаемое значение

Аргумент комплексного числа.

Remarks

Аргумент — это угол, который сложный вектор делает с положительной реальной осью в сложной плоскости. Для комплексного числа a + bi аргумент равен arctan (b/a). Угол имеет положительное направление при измерении против часовой стрелки от положительной оси и отрицательное направление при измерении по часовой стрелке. Основные значения больше-PI и меньше или равны + PI.

Пример

ASINH

atanh

Возвращает комплексно-сопряженную величину комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, комплексно-сопряженная величина которого возвращается.

Возвращаемое значение

Комплексно-сопряженная величина входного комплексного числа.

Remarks

Комплексное сопряжение комплексного числа a + bi — это — бизнес-аналитика. Произведение комплексного числа и его сопряженной величины является нормой числа a 2 + b 2.

Пример

Возвращает косинус комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, косинус которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является косинусом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие косинусы комплексных чисел:

Пример

Возвращает гиперболический косинус комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, гиперболический косинус которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является гиперболическим косинусом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие гиперболические косинусы комплексных чисел:

Пример

расширением

Возвращает экспоненциальную функцию комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, экспоненту которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является экспонентой входного комплексного числа.

Пример

Извлекает мнимую часть комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, вещественная часть которого извлекается.

Возвращаемое значение

Мнимая часть комплексного числа как глобальная функция.

Remarks

Эта функция-шаблон не может использоваться для изменения вещественной части комплексного числа. Чтобы изменить вещественную часть, значению компонента следует назначить новое комплексное число.

Пример

Журналь

Возвращает натуральный логарифм комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, натуральный логарифм которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является натуральным логарифмом входного комплексного числа.

Remarks

Узловые точки находятся вдоль отрицательной оси.

Пример

LOG10

Возвращает десятичный логарифм комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, десятичный логарифм которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является десятичным логарифмом входного комплексного числа.

Remarks

Узловые точки находятся вдоль отрицательной оси.

Пример

норма

Извлекает норму комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, норму которого нужно определить.

Возвращаемое значение

Норма комплексного числа.

Remarks

Норма комплексного числа a + bi — (a 2 + b 2 ). Норма комплексного числа представляет собой квадрат его модуля. Модуль комплексного числа — это мера длины вектора, представляющего комплексное число. Модуль комплексного числа a + bi — sqrt (a 2 + b 2 ), записанный || бизнес-аналитики.

Пример

соответствующие

Возвращает комплексное число, соответствующее указанному модулю и аргументу, в декартовой форме.

Параметры

_Modulus
Модуль вводимого комплексного числа.

_Argument
Аргумент вводимого комплексного числа.

Возвращаемое значение

Алгебраическая форма комплексного числа, указанного в тригонометрической форме.

Remarks

Полярная форма комплексного числа предоставляет модуль r и аргумент p, где эти параметры связаны с реальными и мнимыми декартыми компонентами a и b уравнениями a = r * COS p и b = r * Sin p.

Пример

Вычисляет комплексное число, получаемое в результате возведения основания (комплексное число) в степень другого комплексного числа.

Параметры

_Base
Комплексное число или число с типом параметра для комплексного числа, которое будет возводиться в степень функцией-членом.

_Power
Целое число, комплексное число или число с типом параметра для комплексного числа, представляющее степень, в которую функция-член будет возводить базовое комплексное число.

Возвращаемое значение

Комплексное число, полученное путем возведения указанного базового комплексного числа в указанную степень.

Remarks

Каждая функция эффективно преобразует оба операнда в тип возвращаемого значения, а затем возвращает левый операнд, возведенный в степень правого операнда.

Узловые точки находятся вдоль отрицательной оси.

Пример

Извлекает вещественную часть комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, вещественная часть которого извлекается.

Возвращаемое значение

Вещественная часть комплексного числа как глобальная функция.

Remarks

Эта функция-шаблон не может использоваться для изменения вещественной части комплексного числа. Чтобы изменить вещественную часть, значению компонента следует назначить новое комплексное число.

Пример

Возвращает синус комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, синус которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является синусом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие синусы комплексных чисел:

Пример

Возвращает гиперболический синус комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, гиперболический синус которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является гиперболическим синусом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие гиперболические синусы комплексных чисел:

Пример

Извлекает квадратный корень из комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, квадратный корень из которого требуется извлечь.

Возвращаемое значение

Квадратный корень из комплексного числа.

Remarks

Квадратный корень будет иметь фазовый угол в полуинтервале (–пи/2, пи/2].

Узловые точки на комплексной плоскости находятся вдоль отрицательной оси.

Квадратный корень из комплексного числа будет иметь модуль, представляющий собой квадратный корень из введенного числа, и аргумент, представляющий собой половину введенного числа.

Пример

тангенс

Возвращает тангенс комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, тангенс которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является тангенсом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие тангенсы комплексных чисел:

Пример

Возвращает гиперболический тангенс комплексного числа.

Параметры

комплекснум
Комплексное число, гиперболический тангенс которого требуется определить.

Возвращаемое значение

Комплексное число, которое является гиперболическим тангенсом входного комплексного числа.

Remarks

Тождественные равенства, определяющие гиперболические тангенсы комплексных чисел:

Источник