геометрические приложения определенного интеграла кратко

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах

Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями x = φ₁(t), y = φ₂(t), где α ≤ t ≤ β, φ₁(α)=a, φ₁(β)=b. Эти уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a, b]. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Перейдем к новой переменной x = φ₁(t), тогда dx = φ’₁(t) dt, а y=f(x)=f(φ₁(t))=φ₂(t), следовательно, \begin

Площадь в полярных координатах

Рассмотрим криволинейный сектор OAB, ограниченный линией, заданной уравнением ρ=ρ(φ) в полярных координатах, двумя лучами OA и OB, для которых φ=α, φ=β.

выражает площадь «ступенчатого» сектора, приближенно заменяющего данный сектор OAB.

Площадью сектора OAB называется предел площади «ступенчатого» сектора при n → ∞ и λ=max Δφ_k → 0:

Так как , то

Длина дуги кривой

Пусть на отрезке [a, b] задана дифференцируемая функция y=f(x), графиком которой является дуга . Отрезок [a,b] разобьем на n частей точками x₁, x₂, …, x_n-1. Этим точкам будут соответствовать точки M₁, M₂, …, M_n-1 дуги , соединим их ломаной линией, которую называют ломаной, вписанной в дугу . Периметр данной ломаной обозначим через s_n, то есть

Определение. Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев M_k-1M_k неограничено возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

Из геометрических соображений следует, что

то есть бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны.

Преобразуем формулу, выражающую длину хорды :

Переходя к пределу в этом равенстве, получим формулу для производной функции s=s(x):

из которой находим

Эта формула выражает дифференциал дуги плоской кривой и имеет простой геометрический смысл: выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTN (ds=MT, ).

Дифференциал дуги пространственной кривой определяется формулой

Рассмотрим дугу пространственной линии, заданной параметрическими уравнениями

Интегрируя это равенство по промежутку [α, β], получаем формулу для вычисления длины этой дуги линии

Если линия лежит в плоскости Oxy, то z=0 при всех t∈[α, β], поэтому

Пусть плоская линия задана уравнением ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β) в полярных координатах. В этом случае имеем параметрические уравнения линии x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, где в качестве параметра берется полярный угол φ. Поскольку

то формула, выражающая длину дуги линии ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β) в полярных координатах, имеет вид

Объем тела

Найдем объем тела, если известна площадь любого поперечного сечения этого тела, перпендикулярного некоторому направлению.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ox и определяемыми уравнениями x=const. Для любого фиксированного x∈[a,b] известна площадь S=S(x) поперечного сечения данного тела.

Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой Δv_k=E(ξ_k)Δx_k. Составим сумму всех таких произведений

являющуюся интегральной суммой для данной функции S=S(x) на отрезке [a, b]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Следовательно, объем тела по заданным поперечным сечениям вычисляется по формуле

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии y=f(x), где a≤x≤b, то S(x)=πf 2 (x) и последняя формула принимает вид:

Замечание. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), вокруг оси Oy вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Следовательно, дифференциал площади поверхности выразится формулой

Эта формула выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b) вокруг оси Ox.

Источник