Геометрические и физические приложения определенного интеграла
1. С помощью точек
разобьем отрезок [ a ; b ] оси 0 x на n частичных отрезков 
2. В каждом частичном отрезке 
выберем произвольную точку 
и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f ( ci ).
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
Сумма (4.48) называется интегральной суммой для функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Обозначим через γ длину наибольшего частичного отрезка: 
1. Найдем предел интегральной суммы (4.48) при n →∞ так, что γ→0. Если при этом указанный предел I существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a ; b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек ci , то число I называется определенным интегралом функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] и обозначается
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f ( x ) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, отрезок [ a ; b ] – областью (отрезком) интегрирования.
Функция y = f ( x ), для которой на отрезке [ a ; b ] существует определенный интеграл 
, называется интегрируемой на этом отрезке. Сформулируем теорему существования определенного интеграла.
Теорема 4.4 (Коши). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то определенный интеграл существует 
Примечание. Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва
Укажем некоторые основные свойства определенного интеграла.
1. Определенный интеграл не зависит от того, по какой переменной он
вычисляется, то есть 
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 
3. Для любого действительного числа c :
4. Если c – постоянное число и функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ], то 
5. Если функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ], то их с умма также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство: 
6. Если функция y = f ( x ) интегрируема на отрезке [ a ; b ] и 
то 
(4.52)
Теорема 4.5 (Ньютона–Лейбница). Если функция y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и F ( x ) – какая–либо ее первообразная на [ a ; b ], то имеет место формула
Пример 4.17. Вычислить определенный интеграл 
Решение. Используя формулы (4.7) и (4.53), получим:
Пример 4.18. Вычислить определенный интеграл 
Решение. Используя формулы (4.7), (4.36), (4.50) и (4.53), получим:
Примечание. Как видно из примера 4.18, при вычислении определенного интеграла методом подстановки, нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной (осуществлять обратную замену). Основываясь на первом свойстве определенного интеграла, его можно вычислить через введенную переменную. При этом находят пределы интегрирования для новой переменной, подставляя в формулу замены пределы интегрирования первоначальной переменной
Рассмотрим основные геометрические и физические приложения определенного интеграла.
1. Вычисление площадей плоских фигур
В прямоугольных координатах площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс ( f ( x )≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу (рис. 4.1):
Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси 0 x ( f ( x )
Пример 4.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 
и 
(рис. 4.2).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
Для вычисления искомой площади воспользуемся формулой (4.56), где f 1 ( x ), f 2 ( x ) – уравнения парабол, ограничивающих фигуру 
Площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r (φ) и двумя лучами φ = α и φ = β (α r и φ – полярные координаты (рис. 4.3), равна:
Пример 4.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трёхлепестковой розой» 
(рис. 4.4).
Решение. Сначала по формуле (4.58) найдем
всей площади искомой фигуры, представляющую собой площадь половины лепестка «розы»
2. Вычисление длины дуги плоской кривой
Под длиной дуги 
понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y = f ( x ) и ее производная 
непрерывны на отрезке [ a ; b ], то кривя AB имеет длину, равную
Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r (φ), α ≤ φ ≤ β. Предположим, что
непрерывны на отрезке [α;β]. Тогда длину AB можно вычислить по формуле:
Решение. Сначала найдем
длины дуги окружности 
от точки (0; R ) до точки ( R ;0). Так как
Таким образом, длина окружности равна 2π R (единиц длины). Заметим, что данная формула часто применялась в школьном курсе математики, но принималась без доказательства
3. Вычисление объёмов тел
которая называется формулой объёма тела по площадям параллельных сечений (рис. 4.5).
Искомый объём ищем по формуле
4. Вычисление площади поверхности вращения
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), t 1 ≤ t ≤ t 2, то формула для площади поверхности вращения принимает вид:
5. Вычисление несобственных интегралов
Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ;+∞). Если существует конечный предел
то его называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным верхним пределом и обозначают
Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке (–∞; b ]. Если существует конечный предел 
его также называют несобственным интегралом 1–го рода с бесконечным нижним пределом и обозначают 
Таким образом, по определению
В этих случаях говорят, что несобственные интегралы 1–го рода сходятся. Если же указанные пределы (4.66) и (4.67) не существуют или они бесконечны, то говорят, что несобственные интегралы 1–го рода расходятся.
Несобственный интеграл 1–го рода с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой
где c – произвольное число. Интеграл левой части равенства (4.68) считается сходящимся лишь в том случае, когда сходятся оба интеграла правой части.
Пример 4.24. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость:
следовательно, согласно (4.66) интеграл сходится.
2). По (4.67) имеем: 
интеграл расходится, так как последний предел не существует
Если функция f ( x ) ≥ 0 непрерывна на промежутке [ a ;+∞) и интеграл 
сходится, то он численно представляет собой площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис. 4.7).
Если интеграл правой части равенства (4.69) существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
(4.70)
Пример 4.25. Вычислить 
Решение. При x =0 функция 
терпит бесконечный разрыв: 
следовательно, по формуле (4.70) интеграл расходится
Если функция терпит разрыв во внутренней то чке с отрезка [ a ; b ], то несобственный интеграл 2–го рода от разрывной функции определяется формулой
Здесь интеграл левой части равенства (4.71) называется сходящимся, если оба несобственных интеграла правой части сходятся.
С помощью несобственных интегралов можно вычислять объёмы бесконечных тел вращения. Формулы в данном случае имеют вид, аналогичный (4.62) и (4.63).
6. Механические приложения определенного интеграла
Предположим, что материальная точка M перемещается вдоль оси 0 x под действием переменной силы, направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b ( a b ), находится по формуле:
Пример 4.26. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,08 м, если сила 100 Н растягивает эту пружину на 0,01 м?
где g – ускорение свободного падения, γ – плотность жидкости.
Статическим моментом Sx системы материальных точек относительно оси 0х называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:
Аналогично определяется статический момент Sy этой системы относительно оси 0 y :
Аналогично определяется статический момент Sy этой кривой относительно оси 0 y :
Следовательно, 
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то 
Итак, центр тяжести имеет координаты 
Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна (γ = const ). Тогда статические моменты плоской фигуры относительно осей координат соответственно равны:
Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Ox ), что yc =0.
7. Экономическое приложение определенного интеграла
Рассмотрим одну из многочисленных задач экономики, решаемых с помощью определенного интегрирования.
Пример 4.30. Найти объём сливочного масла (кг), изготовленного молокоцехом за год (306 семичасовых рабочих дней), если ежедневная производительность этого цеха задана функцией 
где t – время в часах.
Решение. Учитывая (4.82), найдем сначала объём V сливочного масла, произведенного молокоцехом за один семичасовой рабочий день (0 ≤ t ≤ 7):
Так как количество рабочих дней в году равно 306, то объём масла, произведенного за год, составит 
(кг) или V = 44 тонны 114 кг