85. Геометрические и физические приложения кратных интегралов
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
y
Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;
Построим графики заданных функций:
S =
2) Вычисление площадей в полярных координатах.
3) Вычисление объемов тел.
Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x, y),
А с боков – цилиндрической поверхностью.
Такое тело называется Цилиндроид.
z
V = 
Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
X + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ: 
4) Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:
Если поверхность задана в неявном виде, т. е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:
5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.
Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x, y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:
— относительно оси Ох: 
— относительно оси Оу: 
— относительно начала координат: 
— этот момент инерции называют еще Полярным моментом инерции.
6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
Координаты центра тяжести находятся по формулам:
Здесь w – поверхностная плотность (Dm = Wdydx –Масса элемента площади).
7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:
При этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.
Координаты центра тяжести тела.
9) Моменты инерции тела относительно осей координат.
10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.
11) Момент инерции тела относительно начала координат.
В приведенных выше формулах п. п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема
— в декартовых координатах: dv = dxdydz;
— в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;
— в сферических координатах: dv = r2sinjdrdjdq.
Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло
Главная > Реферат >Математика
1.Геометрические приложения интегралов
1.1 Геометрические приложения двойных интегралов………….. 3
1.2 Геометрические приложения тройных интегралов………….. 5
1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов… 6
1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов….. 8
2. Физические приложения интегралов
2.1 Физические приложения двойных интегралов……………… 10
2.2 Физические приложения тройных интегралов……………… 12
2.3 Физические приложения криволинейных интегралов……. 14
2.4 Физические приложения поверхностных интегралов……… 18
1.Геометрические приложения интегралов
1.1 Геометрические приложения двойных интегралов
1)Площадь плоской фигуры
Площадь области типа I (элементарной относительно оси О y ) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси О x ) (рисунок 2) описывается формулой
3) Площадь поверхности
Площадь и объем в полярных координатах
Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Сначала определим точки пересечения двух заданных линий.
Следовательно, координаты точек пересечения равны
Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:
1.2 Геометрические приложения тройных интегралов
Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой
В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
1.3 Геометрические приложения криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой
Площадь области, ограниченной замкнутой кривой
Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.
Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox
1.4 Геометрические приложения поверхностных интегралов
С помощью поверхностных интегралов вычисляются
Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.
Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом
Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора
то площадь поверхности будет равна
где D ( u,v ) − это область, в которой задана поверхность.
Если поверхность S задана в явном виде функцией z ( x,y ), то площадь поверхности выражается формулой
Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью
Площади заданной поверхности равна
Переходя к полярным координатам, находим ответ:
Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Лекция 14. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
Площадь плоской области.
Из формулы 7.1 следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной суммы 
при 
равен площади области интегрирования S, то есть
(14.1)
Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S ( z = f(x,y) ), ограниченной контуром L, проекцией этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллель-ными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем называть цилиндроидом. Тогда из формул (7.1) и (7.2) получим, что объем этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области S:
(14.2)
Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз (см. лекцию 12), что площадь элемента поверхности ΔSi равна
,
где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и нормалью к ΔSi в некоторой ее точке 
Составив интегральную сумму
и устремив ее к пределу при 
, получим формулу для площади поверхности:
(14.3)
Вспомним определение момента инерции
а) материальной точки М с массой т относительно точки О: I = mr² (r – расстояние от М до О);
б) системы материальных точек m1, m2,…, mn относительно точки О:
.
Определим теперь момент инерции относительно точки О материальной плоской фигуры D.
Найдем момент инерции фигуры D (рис.1) относительно начала координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку Pi (ξi, ηi). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔSi выражение вида ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму
(14.4)
для функции f(x, y) = x² + y² по области D.
Определение 14.1. Предел интегральной суммы (14.4) при 
называется моментом инерции фигуры D относительно начала координат:
(14.5)
Определение 14.2. Интегралы
(14.6)
называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.
Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является некоторой функци-ей γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно начала координат вычисляет-ся по формуле
(14.7)
Как известно, координаты центра масс системы материальных точек P1, P2,…, Pn с масса-ми т1, т2,…, тп определяются по формулам
.
Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью, равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем считать теперь, что вся масса эле-ментарной площадки ΔSi сосредоточена в какой-либо ее точке Pi (ξi, ηi). Тогда фигуру D можно рассматривать как систему материальных точек, центр масс которой определяется равенствами
.
Переходя к пределу при 
, получим точные формулы для координат центра масс плоской фигуры:
. (14.8)
В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти формулы примут вид
. (14.9)
Из определения 7.3 следует, что при f(x, y, z) ≡ 1 тройной интеграл по некоторой замкнутой области V равен объему тела V:
(14.10)
Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой
(14.11)
Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т относительно координатных осей:
и проводя те же рассуждения, что и при определении моментов плоской фигуры, можно задать моменты инерции тела относительно координатных осей в виде:
(14.12)
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично случаю плоской фигуры:
(14.13)
Криволинейный интеграл 1-го рода.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
(14.14)
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
(14.15)
3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: 
– (14.16)
– (14.17)
– (14.18)
4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
. (14.19)
Криволинейный интеграл 2-го рода.
Если считать, что сила 
действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как
, (14.20)
то есть криволинейным интегралом 2-го рода (см. лекцию 10).
Поверхностный интеграл 1-го рода.
(14.21)
(Ω – проекция S на плоскость Оху).
(14.22)
– (14.23)
– (14.24)
– (14.25)
– (14.26)
. (14.27)
Поверхностный интеграл 2-го рода.
Напомним, что поверхностный интеграл второго рода от некоторой векторной функции представляет собой поток соответствующего векторного поля через выбран-ную сторону поверхности интегрирования (см. лекцию 13).
Замечание 1. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех- рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале лекции. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криво-линейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые в лекции без подробного вывода.
Замечание 2. В лекции не рассматриваются примеры использования полученных формул, так как после подстановки в них конкретных функций задача сводится к технике интегрирования, которая рассматривалась в предыдущих лекциях.
Геометрические и физические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
Таблица 2 .1 Геометрические приложения кратных интегралов
Площадь плоской фигуры
элементарной области относительно оси Оу
элементарной области относительно оси Ох
области, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах
для области R типа I
для области R типа II
объем цилиндрического тела между поверхностями z 1 = f ( x,y ) и z 2 = g ( x,y ) с проекцией R тела на плоскость
в полярных координатах
в декартовых координатах
в цилиндрических координатах
в сферических координатах
поверхности заданной функцией
Таблица 2.2 Геометрические приложения
криволинейных и поверхностных интегралов.
кривой С, описываемой вектором
кривой С, заданной в полярных координатах уравнением
область ограничена замкнутой кривой С, заданной в плоскости O xy
, кривая задана в параметрическом виде
поверхность S задана параметрически с помощью вектора
поверхность S задана в явном виде функцией z ( x,y )
тело образовано вращением области R, ограниченной кривой С вокруг оси O x
Тело ограниченно замкнутой поверхностью
Таблица 2.3. Физические приложения кратных интегралов
пластины с плотностью в точке ( х,у ) области R
тела объема U с плотностью
относительно оси O x
относительно о си O y
, относительно плоскости Oxy
, относительно плоскости Oxz,
, относительно плоскости Oyz
Координаты центра масс
пластины области R в плоскости O xy с плотностью
тела объема U с плотностью
пластины относительно Ох
пластины относительно Оу
– полярный момент инерции пластины
относительно плоскости Oxy относительно плоскости Oxz
относительно плоскости Oyz
относительно начала координат
Среднее значение функции
где − площадь области интегрирования R
где ρ ( ξ,η,ζ ) − плотность тела и
Таблица 2.4. Физические приложения криволинейных и поверхностных интегралов
кривой C плотностью ρ ( x,y,z )
кривой, заданной в параметрическом виде
кривой, в параметрическом виде на плоскости
оболочки S с плотностью
для кривой С плотностью ρ ( x,y,z )
оболочки S с плотностью
Моменты инерции кривой
оболочки относительно осей Ox, Oу, Oz
, оболочки относительно осей Ox, Oу, Oz
относительно плоскостей Оxy, Оyz Оxz
при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C
Сила притяжения поверхности
созданная давлением p ( r ) на поверхность S
Поток жидкости и поток вещества
поток скорости жидкости через поверхность S
, где плотность распределения заряда по поверхности S
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-564026
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минпросвещения работает над единым подходом к профилактике девиантного поведения детей
Время чтения: 1 минута
Российские школьники завоевали пять медалей на олимпиаде по физике
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам
Время чтения: 2 минуты
Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.