Открытый урок по математике «Геометрические тела и их изображение». 5-й класс
Класс: 5
Презентация к уроку
Тип урока: изучение нового материала.
Цель урока:
Задачи урока:
Цели урока:
Задачи:
Планируемые результаты обучения:
Ход урока
1. Организационный момент. СЛАЙД 1
Проверить готовность класса к уроку, настроить учащихся на деловой ритм.
— Ребята! Я рада вас видеть сегодня на уроке в хорошем настроении.
Посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь, глазками пожелайте товарищу хорошего рабочего настроения на уроке.
— Я вам желаю сегодня хорошей работы.
2. Актуализация опорных знаний.
Ребята, отгадайте ребусы. СЛАЙД 2-5
— А как, вы, думаете, почему именно эти слова я зашифровала?
— Молодцы, мы начинаем изучать новую главу, в ней представлен геометрический материал.
— Ребята, у вас на столах представлены геометрические фигуры. Разделите их на две группы.
— Как вы думаете, ребята, о чём мы будем говорить сегодня на уроке? (о пространственных фигурах или геометрических телах)
3. Постановка целей и задач урока
— А что бы вы хотели узнать о них и чему научиться на уроке? (Знать название и свойства, составные элементы этих тел, уметь их распознавать, обозначать)
(СЛАЙД 6 Тема урока и задачи)
4. Первичное усвоение новых знаний.
Нас окружает множество предметов, но математиков интересуют лишь форма предметов и их размеры, поэтому вместо предметов они рассматривают геометрические тела. Вы, конечно, знаете уже некоторые геометрические тела, как они называются? СЛАЙД 7(изображение фигур)
Интересно происхождение названий геометрических тел. Выяснять, почему они так называются, будут следующие ученики ФИ (планшет, компьютер, энциклопедия) Работа с научным текстом, самостоятельное добывание знаний.
Конспект урока по математике для 5 класса на тему «Геометрические фигуры. Геометрические величины. Повторение.»
Конспект урока по «Математике»
Тема: Геометрические фигуры. Геометрические величины.
повторить и обобщить знания об изученных геометрических фигурах, способах нахождения периметра, площади и объёма фигур;
развивать приемы устного и письменного сложения и вычитания;
продолжить формирование умения решать задачи;
развивать память, воображения;
у детей трудолюбие, взаимопонимание.
Оборудование, наглядные пособия : интерактивная доска, мультимедиа презентация, карточки с заданиями.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесный, наглядно- демонстрационный
Организационный момент (5 мин)
Повторение и закрепление ( 28 мин)
Домашнее задание ( 2 мин)
Обсуждение вопросов по домашнему заданию.
Вместе с солнышком встаём
Вместе с птичками поём,
С добрым утром, с лесным днём!
Вот так дружно мы живём!
Повернитесь друг другу, улыбнитесь, пожмите друг другу руки.
Презентация «Геометрические фигуры повторение»
Повторение и закреплении.
№ 1*. Найди периметр треугольника со сторонами 7дм, 8дм, 9дм.
№ 2*. Найди площадь прямоугольника со сторонами 6см и 9см.
№ 3*. Длина прямоугольника равна 30м, ширина 5м. Найди площадь и периметр?
№ 4*. Старому дубу 120 лет, а молодой дубок моложе в 10 раз. Сколько лет дубку?
№ 5*. За 4 груши заплатили 32 рубля. Сколько стоят 6 таких груш?
№ 6*. Отгадай фигуры по описанию:
а) это многоугольник, все стороны равны, все углы прямые.
б) это многоугольник, у него три стороны, три угла.
в) Часть прямой – бывает у света фонаря, солнца и маяка. У него только одна граница, его можно продолжать только в одну сторону.
г) Часть прямой – имеет две границы.
№ 7*. Какой длины веревка?
№ 8*. Какой путь преодолеет божья коровка, если обойдет всю коробку по периметру, если а = 2м, b = 1 м.
№ 9*. Найдите периметр пятиугольника АВС D Е.
8 • 4 = 32 (см) – периметр
№ 11. Периметр квадрата 28 см. Чему равна его сторона?
№ 12. Длина прямоугольника 6 см, а ширина на 2 см меньше. Чему равен периметр?
1)6 – 2 = 4 (см) – ширина
2)6 + 4 = 10 (см) – половина периметра
3)10 • 2 = 20 (см) – периметр
6 – 2 = 4 (см) – ширина
№ 2. Длина прямоугольника 14 см. Чему равна ширина, если периметр 44 см?
№ 3. Участок земли имеет форму прямоугольника, ширина которого 12 м, а длина на 6 м больше. Он обнесён проволокой 4 раза. Сколько проволоки потребовалось?
Решение домашнего задания:
1)5 + 2 = 7 (см) – половина периметра
2)7 • 2 = 14 (см) – периметр
№ 2. Длина прямоугольника 14 см. Чему равна ширина, если периметр 44 см?
1)44 : 2 = 22 (см) – половина периметра
2)22 – 14 = 8 (см) – ширина
№ 3. Участок земли имеет форму прямоугольника, ширина которого 12 м, а длина на 6 м больше. Он обнесён проволокой 4 раза. Сколько проволоки потребовалось?
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-097759
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам
Время чтения: 2 минуты
Руководители управлений образования ДФО пройдут переобучение в Москве
Время чтения: 1 минута
ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников
Время чтения: 3 минуты
Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Конспект урока математики в 5 классе на тему: «Геометрические фигуры. Геометрические величины.»
Цель:
Просмотр содержимого документа
«Конспект урока математики в 5 классе на тему: «Геометрические фигуры. Геометрические величины.»»
Конспект урока по «Математике»
Тема: Геометрические фигуры. Геометрические величины.
повторить и обобщить знания об изученных геометрических фигурах, способах нахождения периметра, площади и объёма фигур;
развивать приемы устного и письменного сложения и вычитания;
продолжить формирование умения решать задачи;
развивать память, воображения;
у детей трудолюбие, взаимопонимание.
Оборудование, наглядные пособия: интерактивная доска, мультимедиа презентация, карточки с заданиями.
Тип урока: комбинированный
Методы: словесный, наглядно- демонстрационный
Организационный момент (5 мин)
Повторение и закрепление (28 мин)
Домашнее задание ( 2 мин)
Обсуждение вопросов по домашнему заданию.
Вместе с солнышком встаём
Вместе с птичками поём,
С добрым утром, с лесным днём!
Вот так дружно мы живём!
Повернитесь друг другу, улыбнитесь, пожмите друг другу руки.
Презентация «Геометрические фигуры повторение»
Повторение и закреплении.
№ 1*. Найди периметр треугольника со сторонами 7дм, 8дм, 9дм.
№ 2*. Найди площадь прямоугольника со сторонами 6см и 9см.
№ 3*. Длина прямоугольника равна 30м, ширина 5м. Найди площадь и периметр?
№ 4*. Старому дубу 120 лет, а молодой дубок моложе в 10 раз. Сколько лет дубку?
№ 5*. За 4 груши заплатили 32 рубля. Сколько стоят 6 таких груш?
№ 6*. Отгадай фигуры по описанию:
а) это многоугольник, все стороны равны, все углы прямые.
б) это многоугольник, у него три стороны, три угла.
в) Часть прямой – бывает у света фонаря, солнца и маяка. У него только одна граница, его можно продолжать только в одну сторону.
г) Часть прямой – имеет две границы.
№ 7*. Какой длины веревка?
№ 8*. Какой путь преодолеет божья коровка, если обойдет всю коробку по периметру, если а = 2м, b = 1 м.
№ 9*. Найдите периметр пятиугольника АВСDЕ.
№ 10. Сторона квадрата равна 8 см. Чему равен его периметр?
8 • 4 = 32 (см) – периметр
№ 11. Периметр квадрата 28 см. Чему равна его сторона?
№ 12. Длина прямоугольника 6 см, а ширина на 2 см меньше. Чему равен периметр?
1)6 – 2 = 4 (см) – ширина
2)6 + 4 = 10 (см) – половина периметра
3)10 • 2 = 20 (см) – периметр
6 – 2 = 4 (см) – ширина
№ 1. Длина прямоугольника 5 см, а ширина – 2 см. Чему равен периметр?
№ 2. Длина прямоугольника 14 см. Чему равна ширина, если периметр 44 см?
№ 3. Участок земли имеет форму прямоугольника, ширина которого 12 м, а длина на 6 м больше. Он обнесён проволокой 4 раза. Сколько проволоки потребовалось?
Решение домашнего задания:
№ 1. Длина прямоугольника 5 см, а ширина – 2 см. Чему равен периметр?
1)5 + 2 = 7 (см) – половина периметра
2)7 • 2 = 14 (см) – периметр
№ 2. Длина прямоугольника 14 см. Чему равна ширина, если периметр 44 см?
1)44 : 2 = 22 (см) – половина периметра
2)22 – 14 = 8 (см) – ширина
№ 3. Участок земли имеет форму прямоугольника, ширина которого 12 м, а длина на 6 м больше. Он обнесён проволокой 4 раза. Сколько проволоки потребовалось?
Урок геометрии в 5-м классе «Плоские и пространственные геометрические фигуры»
Разделы: Математика
Цель урока: дать понятие плоским и пространственным геометрическим фигурам, научить их различать.
1. Повторение изученного о пространственных фигурах.
— Назовите изображённые фигуры
— Назовите известные вам основные элементы этих фигур.
— Соотнесите, какие элементы есть у каждой из перечисленных фигур в таблице:
(задание на соответствие элементов множеств)
— Покажите на рисунке эти элементы.
— На какие 2 группы можно поделить изображённые фигуры и по какому признаку?
(тела вращения и многогранники)
Вопрос 1. Какие фигуры являются основаниями тел вращения? Многогранников?
1. Поставьте модель цилиндра, пирамиды, призмы на лист бумаги; обведите карандашом; уберите модели; назовите изображённые на листе фигуры.
2. Вырежьте эти фигуры; назовите каждую.
(круг, треугольник, прямоугольник)
3. Сравните фигуры, которые начертили и которые вырезали.
(круг, треугольник, прямоугольник)
— Ничего удивительного не произошло, что начертили на бумаге, то и вырезали.
4. Положите вырезанные фигуры на лист бумаги и прикройте другим листом. Получилось?
5. Попробуйте приклеить эти фигуры на лист бумаги. Получилось?
Всё получилось? Почему?
Какими словами подчеркнуть отличие одной группы предметов от другой?
[ Чтение текста “Мишкин рассказ” в учебном пособии ]
Вопрос 2. Как назвать группу, состоящую из тел вращения и многогранников? Как назвать группу, состоящую из многоугольников и кругов?
Вопрос 3. Плоские фигуры в объёмных и пространственных фигурах чем являются? (основаниями и боковыми гранями)
Вопрос 4. А где ещё можно увидеть плоские фигуры?
— Возьмите из набора пластилиновые модели пространственных фигур.
— Сделайте разрез нитью от вершины произвольно. Какая фигура в срезе?
— Сделайте разрез нитью от одного основания конуса и пирамиды, призмы и цилиндра к другому произвольно. Разрежьте шар. Какие фигуры в срезе?
— На какие фигуры при разрезании поделились сами плоские фигуры? пространственные?
3. Закрепление изученного и увиденного.
Игра “Ромашка” (работа в парах).
Учащиеся прикрепляют на листе с рисунком соответствующие лепестки к ромашкам “Плоские геометрические фигуры” и “Пространственные геометрические фигуры”.
Цель: угадать, о какой фигуре идёт речь.
Условия: задать как можно меньше вопросов, на которые можно отвечать только “да” и “нет”.
В ходе обсуждения учащиеся приходят к необходимости составления алгоритма игры
4. Домашнее задание: поиграть в игру “Угадай-ка” с друзьями, родителями.
Рисунок 2. Геометрическая ромашка “Плоские и пространственные геометрические фигуры”.
Геометрический материал на уроках математики в 5-6 классах
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ
Содержание
Введение
В последнее время педагогический опыт показывает, что, не смотря на наличие в курсе математики геометрического материала, большинство учащихся к началу обучения в средней школе имеют лишь первые представления о рассматриваемых в начальных классах геометрических понятиях.
К тому же эти представления носят весьма фрагментарный характер. Учащиеся слабо владеют предусмотренной программой геометрической терминологией, далеко не всегда могут установить существенные признаки известных им геометрических фигур. В связи с этим проблемой данной курсовой работы является грамотное формирование геометрических понятий у школьников.
Цель данной курсовой работы – анализ и рассмотрение распределения геометрического материала на уроках математики.
Объект – процесс обучения математике в школе.
Предмет – распределение геометрического материала на уроках математики.
Рассмотреть формирование пространственного воображения у учащихся.
Рассмотреть геометрические знания, получаемые в начальной школе.
Проанализировать упражнения на изучение элементов геометрии в курсе математики 5-6 классов
Курсовая работа состоит из введения, трех параграфов, заключения и списка использованной литературы.
Формирование пространственного воображения у учащихся
Окружающий мир ребенка наполнен образами геометрических фигур и отношений. Изначально геометрия формировалась как наука о непосредственно наблюдаемом пространстве, поэтому первой научной концепцией геометрии была Евклидова геометрия, отражающая мир, доступный непосредственному опыту в ограниченном пространстве. Смысл основных понятий отражает то, откуда они возникли. И при этом геометрия из математических дисциплин вызывает наибольшие трудности у школьников. Обычно причины такого положения связывают с содержанием курса геометрии средней школы, методикой его обучения. Но трудности усвоения закладываются еще в начальной школе, имеют предметный и психологический характер, связанный со спецификой геометрического материала [11].
В современной философии образования различают пространство реальное, существующее «на самом деле»; пространство концептуальное, точнее некоторые научные представления о реальном пространстве (в основном, это физические и математические абстрактные пространства, в частности геометрические пространства); и пространство перцептивное, то есть пространство как его воспринимает человек своими органами чувств, и прежде всего зрением и осязанием, которое может быть сугубо индивидуальным.
Геометрические фигуры являются идеальными объектами. Среди реальных предметов окружающего мира подобных объектов не существует. Но усвоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Ведь понимание обеспечивается связью научных знаний с имеющимся у ребенка личным опытом. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных моделей этих объектов. В процессе обучения модели часто предстают произвольно. На их основе ребенок создает образы и представления, на которые опирается, работая с понятием. В результате неудачного выбора модели, учащиеся относят к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает предмет, но не сама геометрическая фигура. Например, пятиклассники часто путают квадрат и куб. Это, в первую очередь вызвано тем, что по традиционной программе учащиеся в начальной школе работают на плоскости, тем самым отсутствует возможность сравнения плоских и объемных фигур. Предъявляемые им в качестве квадрата рисунки, дощечки, картонки определенной формы имеют толщину, и у ребенка не формируется представление о таком существенном свойстве квадрата быть плоской фигурой [11].
В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты. Например: вытянутый стандартный дом может представлять модель точки, если в рассматриваемой ситуации важно знать его местоположение в городе, а может быть моделью отрезка, если сообщается его положение относительно расположенной рядом улицы (дом расположен перпендикулярно или параллельно к этой улице), или моделью прямоугольника, если речь идет о занимаемой домом площади, или моделью прямоугольного параллелепипеда, когда требуется выполнить его макет. Таким образом, мы видим предмет как некую геометрическую фигуру, когда нам в предмете важны только те свойства, которые являются существенными свойствами этой геометрической фигуры. Отсюда вытекает критерий выбора материальных моделей (реальных предметов) геометрических фигур [3].
Выбор материальной модели геометрического объекта зависит от контекста ситуации, в которой эта модель предъявляется. Этот контекст выделяет в предмете существенные свойства изучаемой геометрической фигуры.
Геометрические знания, полученные в начальной школе
Основной задачей изучения геометрического материала в 1-4 классах является формирование у учащихся четких понятий и представлений о таких фигурах, как точка, прямая линия, отрезок прямой, ломаная линия, угол, многогранник, круг.
При этом система упражнений и задач геометрического содержания и методика работы над ними должны способствовать развитию пространственных представлений у детей, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать.
Одной из задач обучения является выработка у учащихся практических умений измерения и построения геометрических фигур с помощью чертежных и измерительных инструментов и без них(измерить –на глаз, начертить от руки и т.п.). Следует дать также первоначальное представление о точности построений и измерений [2].
Учитывая задачи, намеченные программой при изучении геометрического материала, следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, общеклассные модели геометрических фигур, требуются индивидуальные наглядные пособия.
Наиболее эффективными приемами изучения геометрического материала являются лабораторно-практические: моделирование фигур из бумаги, из палочек, проволоки; черчение, измерение и др.
При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления.
У учащихся 1-4 классов надо формировать четкие образы точки, прямой и кривой линий, отрезка прямой. Задача учителя – научить вычленять, называть и правильно показывать эти фигуры, изображать их на бумаге и на доске, обозначать с помощью букв. Дети должны научиться измерять и чертить отрезки, заданной длинны [1].
Важнейшую роль при изучении геометрического материала в начальных классах играют геометрические задания, специально направленные на развитие у младших школьников пространственных представлений и воображения, их речи и мышления, на формирование практических умений и навыков. К ним можно отнести задания на:
А) классификацию геометрических фигур;
Б) деление фигур на части;
В) составление геометрических фигур заданной формы из других фигур;
Г) вычленение фигур на чертеже сложной конфигурации;
Д) распознавание фигур знакомых видов в окружающей обстановке;
Е) выяснение геометрической формы предметов или их частей.
После знакомства с прямой линией дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые через точки. Формирование представлений о прямой линии учащихся 1 класса происходит в процессе выполнения ими разнообразных упражнений. При этом, прямую сопоставляют с кривой линией. Дети должны научиться распознавать линию, начерченную в любом положении. При этом важно ее располагать не только горизонтально или вертикально, но и под различными углами [12].
В процессе выполнения упражнений, ребята знакомятся с некоторыми свойствами прямой. Например: при изображении линий, замечают, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий. Или же то, что через две точки можно провести прямую линию, причем только одну, а кривых сколько угодно.
После изучения этих понятий формируются знания о таких фигурах, как многоугольник, угол, круг. При знакомстве с многоугольником вычленяются элементы фигуры: стороны, углы, вершины. Параллельно эти элементы рассматриваются на моделях [1].
Формирование понятия угла начинается с прямого угла, в процессе складывания листочков бумаги сначала вдвое, затем перегибая еще раз. Учитель предлагает развернуть сложенные листы. И ребята подмечают, что линии сгиба разделили лист на четыре угла, у которых одна вершина. Учащиеся делают вывод, что углы равны между собой, так как при складывании листа бумаги по линиям сгиба углы совпадают.
Понятие угла закрепляется в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например, при рассмотрении прямоугольника. В основе формирования представлений о прямоугольнике и квадрате, лежат определения: прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а квадрат – это прямоугольник с равными сторонами.
Использование способствует постепенному осознанию детьми, что любой квадрат есть прямоугольник и в тоже время не всякий прямоугольник может быть квадратом [12].
С окружностью и кругом учащиеся начинают знакомиться в 3 классе. С помощью циркуля дети учатся чертить окружности, а также знакомятся с элементами окружности и круга – центром и радиусом. Именно в ходе практических упражнений усваиваются все эти сведения.
Часто приходиться сталкиваться с такой проблемой, что ребята путают окружность и круг. С целью предотвращения подобной ситуации, дают специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг, отметьте центр круга или окружности, а также точки, лежащие внутри круга, вне круга, на окружности.
С помощью уже знакомого понятия отрезка, учащиеся 1 класса знакомятся с понятием ломаной линии. Учитель предлагает по образцу построить линию из палочек или бумажных полосок. Тем самым дается название новой линии. Затем учащиеся чертят ломаные линии в своих тетрадях. При этом дети каждый раз подсчитываю, сколько отрезков и звеньев содержит построенная ломаная линия. Далее дается понятие незамкнутой и замкнутой линии, в процессе выполнения некоторых практических понятий [1].
Необходимо также установить связь между замкнутой линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, а из четырех звеньев – четырехугольник и т.д.
Во 2 классе ребята знакомятся с измерением ломаных, то есть учатся находить длины ломаных линий. Учитель говорит, что для измерения ломаной необходимо измерить длины всех звеньев и сложить их. Для отработки навыка нахождения длины ломаной нужно включить достаточное количество упражнений на нахождение длины замкнутых и незамкнутых ломаных линий с разным количеством звеньев.
Позже, в 3 классе, на основе полученных знаний вводится понятие периметра многоугольника. Учитель поясняет, что периметром называется сумма длин всех сторон многоугольника.
Опыт показывает, что, не смотря на наличие в курсе математики 1-4 классов геометрического материала, большинство учащихся к концу обучения в 4 классе имеют лишь первые представления о рассматриваемых в начальных классах геометрических понятиях [12].
К тому же эти представления носят весьма фрагментарный характер. Учащиеся слабо владеют предусмотренной программой геометрической терминологией, далеко не всегда могут установить существенные признаки известных им геометрических фигур. Например, учащиеся начальных классов часто не различают прямую и отрезок, прямоугольник и квадрат и т.п. в связи с наличием в одной из двух данных фигур отдельных признаков, характерных для другой фигуры.
Такие же ошибки при изучении элементов геометрии нередко допускают и учащиеся 5 класса. Следовательно, при формировании геометрических понятий в 5-6 классах особое внимание должно быть направлено на выявление всех существенных признаков [2].
Таким образом, в начальной школе ведется накопление и развитие геометрических представлений у школьников, они знакомятся с понятиями «фигура», «плоскость», «прямая», с основными понятиями, связанными с окружность и кругом, с некоторыми терминами, овладевают элементарными навыками использования простейших инструментов. Это достигается систематическим проведением практических работ. Изготовление учащимися моделей геометрических фигур, вырезание, вычерчивание, получение фигур в результате перегибания листов бумаги, упражнения в распознавании фигур на чертежах и в реальной жизни, практические измерительные работы в классе и на местности играет основную роль на этой ступени обучения.
Самостоятельная задача формулировки определений перед учащимися не ставится. Однако они получают некоторые представления об определениях.
Таким образом, к 5 классу у учащихся накапливается значительный запас геометрических знаний и представлений, для дальнейшего обобщения и систематизации.
Изучение элементов геометрии в курсе математики 5-6 классов
Геометрический материал в 5-6 классах распределен по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического или подготовительного курса геометрии. Основные цели этого курса – подготовить к сознательному усвоению систематического курса геометрии 7-9 классов, к изучению смежных дисциплин [6].
Пропедевтический курс геометрии связан с систематическим курсом планиметрии 7-9 классов как по содержанию, так и по идейной направленности.
Тем самым решается ряд задач:
Подготовительный курс геометрии знакомит учащихся с геометрической терминологией и символикой, которые используются и в систематическом курсе.
Ознакомление с некоторыми видами отображения фигур готовит учащихся к сознательному усвоению идей геометрических преобразований.
Знакомство с координатной прямой и координатной плоскостью создает основу для использования координатного метода при изучении отдельных разделов систематического курса геометрии.
В 5 классе учащиеся имеют дело с такими геометрическими величинами, как длина, площадь, объем. Также знакомятся с величиной угла. В 6 классе вводятся формулы длины окружности и площади круга. В результате выполнения некоторых измерений и решения соответствующих задач на вычисления у учащихся складывается представление о величине как о неотрицательном числе. В процессе решения задач учащиеся знакомятся и со свойствами геометрических величин.
В пропедевтическом курсе большое внимание уделяется в выработке у учащихся умений и навыков в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов, а также формированию у них рациональных приемов построения геометрических фигур. Эти умения будут необходимы как при изучении систематического курса геометрии, так и при изучении курса черчения.
В подготовительном курсе геометрии реализуется идея связи теории с практикой. Теоретические положения раскрываются при решении задач жизненного характера.
Пропедевтический курс включает задачи, позволяющие развивать у учащихся пространственные представления.
Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе [6].
Содержание материала, изучаемого в 5 классе, составляют такие вопросы, как основные геометрические понятия: точка, прямая, плоскость, луч, отрезок, угол, треугольник; отношения – равенства фигур, измерение геометрических величин – длин отрезков, меры углов, площади прямоугольника, объема прямоугольного параллелепипеда. Эти вопросы не являются для учащихся 5 класса совершенно новыми, они рассматривались ими в начальной школе на интуитивном уровне. Учащимся известны понятия «окружность», «круг», «центр», «радиус», «диаметр». В систематическом курсе геометрии все эти понятия в дальнейшем получают свое развитие. В 5 классе ребята знакомятся со многими понятиями в оперативном плане, не определяя их, а лишь выделяя характерные свойства, существенные признаки в процессе решения задач.
В 5 классе учащиеся знакомятся также с простейшим символическим языком геометрии [10].
Курс геометрии 5 класса построен преимущественно на индуктивной основе.
Учащиеся встречаются с такими понятиями, как «плоскость» и «прямая». Они должны научиться мысленно видеть, что прямая не имеет ни начала, ни конца, что она лежит в плоскости, что любая модель плоскости – это только часть плоскости. Следовательно, необходимо сформировать ясные представления об этих абстракциях у учащихся.
При изучении прямой линии важно создать представление о ее бесконечности. В этом помогут соответствующим образом подобранные упражнения. Например:
Рис. 1 . Расположение прямой и точек
Рис. 2 . Пересекающиеся прямые
Аналогичные задачи на выяснение взаимного расположения прямой линии с лучом, отрезком учитель может составить в дальнейшем сам. При решении таких задач учащиеся представляют себе прямую линию безграничной, понимают, что на чертеже можно изобразить только часть прямой [7].
Далее учащиеся знакомятся с одним из основных свойств прямой линии:
— через любые две точки плоскости проходит единственная прямая;
Рис. 3 . Построение прямой через две точки
Здесь же с помощью опытной практической работы можно познакомить и с другим свойством прямой линии:
— через одну точку на плоскости можно провести сколько угодно других линий.
Рис. 4 . Построение нескольких прямых через одну точку
Далее рассматривается отрезок как часть прямой.
В работе с учащимися должны найти место упражнения на откладывание отрезков на данной прямой. Например:
ЗАДАЧА. Сколько отрезков длиной 3 см можно отложить от данной точки на прямой линии?
Значительный интерес представляют задачи на выявление свойств точек, принадлежащих и не принадлежащих ему, принадлежащих прямой и не принадлежащих ей. Например:
ЗАДАЧА. Сколько общих точек имеют:
Рис. 5 .Отрезок и прямая, не имеющие общих точек
Рис. 6 . Прямая и отрезок, имеющие общую точку
При разъяснении понятия луча используется интуитивно ясное понятие «часть прямой». Особую трудность представляет формирование у учащихся представления о неограниченности луча. Для наглядности можно привести в качестве примера луч прожектора, направленный в ночное небо [6].
Особого внимания требует понятие лучей, дополнительных друг к другу. Здесь необходимо ввести упражнения для формирования понятий и обработки непривычной терминологии.
ЗАДАЧА. Назвать на прямой AC луч, дополнительный лучу OC .
Рис. 7 . Лучи, дополнительные друг к другу
Известное внимание при изучении прямой, отрезка, лучей следует уделить овладению учащимися терминологией, раскрывающей отношения «лежать на», «принадлежность», «проходить через».
Важным разделом геометрии 5 класса является равенство фигур. В разделе «Равные фигуры» учащиеся знакомятся с абстрактным понятием «фигура». Понятие равенства фигур вводится на основании наложения одной фигуры на другую.
Две фигуры, которые можно наложить одну на другую так, чтобы они совпали, называют равными.
С помощью наглядных пособий учащиеся подводятся к выводу, что равные отрезки имеют равные длины, отрезки с равными длинами равны, а фигуры с равными площадями не всегда равны[10].
Вместе с тем учителю следует иметь в виду, что понятие «геометрическая фигура» играет важную роль при изучении геометрического материала в 5 классе. В изучаемом курсе это понятие является самым широким родовым, и к раскрытию его следует обратиться в самом начале изучения геометрического материала.
Формально-логического определения понятию «геометрическая фигура» не дается. Оно формируется на основе наблюдения учащимися окружающих тел. При этом необходимо опираться на интуитивно развитое умение ребят выделять одинаковые и не одинаковые формы у наблюдаемых вещей, на уже развитые у учащихся этого возраста способности не связывать понятие формы с материалом, из которого изготовлены изучаемые тела. Перед учащимися ставится задача: «Назовите известные вам геометрические фигуры». При ответе необходимо добиваться, чтобы учащиеся приводили примеры как пространственных, так и плоских фигур. При этом учащиеся должны называть не предметы, а собственно геометрические фигуры: треугольник, квадрат, куб, многоугольник, пирамиду, конус и т.д. На дом можно задавать задания практического характера: сделать модель одной из известных геометрических фигур (из пластилина, вырезать из бумаги и т.д.), в тетради сделать рисунок знакомых геометрических фигур, предметов, имеющих формы фигур. Аналогичные задания можно давать учащимся и при рассмотрении понятия «равные фигуры».
Далее рассматриваются высказывания: равные отрезки имеют равные длины; если длины отрезков равны, то отрезки равны; равные фигуры имеют одинаковую площадь.
При этом следует обратить внимание на обоснование этих высказываний, на их доказательность, подтверждение с помощью выполнения практических заданий.
Формированию таких умений могут способствовать следующие задания:
ЗАДАЧА. На рисунке 8 изображены пары фигур. Что общего и что различного в изображении этих фигур?
Рис. 8 . Сходство и различие фигур.
ЗАДАЧА. У четырехугольников ABCD и MNPQ все стороны имеют одинаковые длины. Равны ли эти четырехугольники?
При решении этой задачи следует предоставить возможность учащимся подумать и попытаться сделать самостоятельные выводы. Чертеж в данном случае служит средством подтверждения этих выводов[6].
Важное значение имеют упражнения на построение фигур, равных данным (на клетчатой бумаге), на узнавание равных фигур на чертеже.
Такие упражнения носят тренировочный характер, они помогают сформировать у учащихся умение выделить существенные принципы понятия геометрической фигуры, равенства фигуры, установить равенство фигур путем фактического наложения либо способом геометрического видения.
К понятию равенства необходимо обращаться при изучении любой из фигур в 5-6 классах.
Многие геометрические сведения, с которыми знакомятся учащиеся до 5 класса, на определенном уровне обобщения рассредоточены по всем классам. Так, с понятием угла учащиеся знакомятся при изучении конкретных многоугольников – треугольников, четырехугольников и т.д. В 5 классе уже изучается луч. Здесь школьники учатся выделять вершины, стороны угла, усваивают, что два луча, выходящие из одной точки, определяют угол. Вводится значок обозначения угла « ». Сравнение углов осуществляется, так же как и сравнение других фигур, через наложение. Рассматриваются с учащимися различные виды углов: развернутый, прямой, острый, тупой. Понятие угла в 5 классе определяется как два луча, имеющие общее начало. ( Подход к определению угла генетический, так как вводится после построения самого угла ).
Например: Проведем на плоскости два луча AB и AC , имеющие общее начало в точке A . Получившуюся геометрическую фигуру называют углом.
Рис. 9 . Построение угла
Важно обратить внимание учащихся на то, как правильно изображать и обозначать углы. При изучении этой темы учащимся следует предложить изготовить некоторые наглядные пособия. Эта работа сможет увлечь учащихся данной темой и закрепить определение угла и его элементов[6].
При изучении темы «Угол» нельзя не обратить внимание учащихся на разновидность углов (развернутый, прямой, острый, тупой). Учитель может предложить ученикам несколько задач, с помощью которых они закрепят эти понятия и научатся распознавать углы на глаз без применения инструментов (угольника, транспортира). Здесь интересна задача с часами (часы с движущимися стрелками также легко изготовить и использовать как наглядное пособие).
3.Перечислить все острые, прямые, тупые и развернутые углы.
4.Какое время показывают часы, когда их стрелки образуют прямой угол и минутная стоит на 12?
Важная роль при обучении геометрии в 5-6 классах отводится решению задач. Предполагается, что изучение нового материала будет проходить главным образом в процессе решения задач, в процессе формирования умений и навыков применения знаний, а не в результате лишь заучивания теоретических положений.
Изучение геометрического материала опирается на творческое мышления учащихся. Поэтому задачи в учебнике занимают значительное место.
При рассмотрении вопроса измерения углов важное место имеют задачи вычислительного характера. Например:
ЗАДАЧА. Какую часть развернутого угла составляют углы в 30˚, 45˚, 60˚, 240˚? Какую часть прямого угла составляют углы в 30˚, 15˚, 60˚, 75˚?
Дидактические задачи носят различный характер. Некоторые из них решаются при изучении одного пункта учебника, другие предлагаются при изучении разных тем. Например, для формирования правильного представления о неограниченности прямой дидактические задачи предлагаются не только в пункте, посвященном изучению прямой непосредственно, но и при изучении углов и др. [10].
Основное содержание геометрического материала 6 класса составляют такие вопросы, как центральная симметрия, осевая симметрия, перпендикулярные прямые, параллельные прямые, длина окружности, площадь круга, шар, построение треугольников.
В 6 классе находят свое развитие понятия прямой и плоскости, биссектрисы угла, измерение геометрических величин. Продолжается работа над понятиями, некоторые из них получают определения. Обращается большое внимание на развитие конструктивных навыков. Рассматриваются некоторые вопросы метрической геометрии.
Геометрический материал 6 класса позволяет вести работу по формированию умений выделять главные, существенные признаки понятия, по развитию навыков строить рассуждения, обосновывать факты, полученные из опытной проверки, из наблюдений, т.е. от содействует развитию дедуктивного мышления у школьников, в нем предусматриваются несложные задачи на доказательство.
В 6 классе учащиеся продолжают изучение прямой линии. Новым является вопрос о взаимном расположении двух прямых линий. Рассмотрение этого вопроса с учащимися требует обращения к окружающей действительности.
В программе 6 класса этой проблеме отводятся два пункта: «Перпендикулярные прямые» и «Параллельные прямые».
Перед учащимися ставится проблема: сколько общих точек могут иметь две прямые линии на плоскости? Используя наглядные пособия, примеры из жизни, рассматривают возможные случаи взаимного расположения двух прямых линий на плоскости.
Две прямые AB и CD могут иметь только одну общую точку M на плоскости. Говорят: «Прямые AB и CD пересекаются».
Рис. 10 . Пересекающиеся прямые
Необходимо рассмотреть и случай расположения прямых на плоскости, не имеющих общих точек, когда две прямые AB и CD не пересекаются.
Рис. 11 . Прямые, не имеющие общих точек
Термин «параллельные прямые» можно вводить на 1-м уроке лишь с целью ознакомления. Из всех случаев выделены прямые, при пересечении которых образуются прямые углы. Путем рассуждения доказывается, что если один из углов при пересечении двух прямых получился прямым, то остальные углы тоже прямые. Вводится определение перпендикулярных прямых: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными прямыми.
Далее учащиеся знакомятся с определением параллельных прямых: две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.
Понятия перпендикулярных и параллельных прямых формируются на основе конкретных представлений, наблюдений из окружающей действительности и опыта школьников.
Здесь же получает дальнейшее развитие понятие отрезка, вводится определение параллельных отрезков. Параллельные отрезки располагаются на параллельных прямых. Для обозначения перпендикулярности и параллельности прямых вводятся специальные символы: ┴, ║, обращается внимание на правильность записи и чтение при использовании введенной символики. Важное значение имеет формирование практических умений построения перпендикулярных и параллельных прямых с использованием инструментов: линейки, угольника и транспортира.
Далее учащиеся знакомятся без доказательства, исходя из наглядных представлений, с признаком параллельности прямых: «Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны».
На основании этого признака можно решить две основные задачи на построение:
ЗАДАЧА. 2.Даны прямая a и точка B вне прямой a . Построить прямую b , параллельную прямой a и проходящую через точку B .
В процессе решения этих задач учащиеся убеждаются в том, что через данную точку плоскости проходит только одна прямая, параллельная данной прямой. Далее учащиеся на основе практики делают вывод, что через каждую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.
При построении параллельных прямых следует познакомить учащихся не только с угольником и линейкой, но и другими чертежными инструментами: рейсшиной, чертежной линейкой, штурманской линейкой.
Работа по изучению перемещений носит описательный характер. Изучение простейших перемещений начинается с центральной и осевой симметрии фигур. Основная нагрузка при изучении тем «Центр симметрии» и «Ось симметрии» ложится на формирование умений и навыков построения фигур, симметричных относительно центра и позднее относительно оси. Обоснование приемов построения проводится дедуктивно.
На основе наблюдений, на конкретных примерах у учащихся формируется понятие центра симметрии, дается определение фигуры, симметричной относительно точки O .
Рис. 12 . Фигуры, симметричные относительно точки О.
Пользуясь наглядными пособиями, учащиеся находят соответственные точки фигур и убеждаются в том, что такие пары точек определяют отрезок, проходящий через точку O и делящийся этой точкой пополам. Такие точки называют симметричными относительно O .
Для построения центрально-симметричных фигур необходимо научится строить центрально-симметричные точки.
Рис. 13 . Построение точки, симметричной данной
Построение фигур, симметричных относительно точки, следует начать с построения отрезков, симметричных относительно некоторой точки. Центр симметрии сначала надо выбирать вне отрезка. Случай, когда центр симметрии принадлежит отрезку, должен быть итоговым.
ЗАДАЧА. Даны отрезок AB и центр симметрии – точка O . Построить отрезок, симметричный отрезку AB относительно точки O .
Рис. 14 . Построение отрезка, симметричного данному
Используя имеющиеся представления учащихся об отрезках, треугольнике, четырехугольнике, окружности, а также полученный опытным путем вывод, что фигуры, симметричные относительно точки, равны, выясняют, что для построения таких фигур достаточно построить только несколько точек, симметричных точкам данной фигуры относительно центра симметрии: для треугольника три точки, симметричные его вершинам, для четырехугольника четыре точки, для окружности одну точку.
Важное значение при этом отводится задачам. Например:
ЗАДАЧА. Изображены стороны AB прямоугольника ABCD и точка O – центр симметрии этого прямоугольника. Перечертить рисунок в тетрадь и построить прямоугольник ABCD .
Фигуры, симметричные сами себе относительно некоторой точки, следует выделить особо.
При изучении этой темы желательно использовать цветные мелки на доске, цветные карандаши, модели различных фигур. Разнообразные задачи можно решать на клетчатой бумаге.
Изучение осевой симметрии в 6 классе опирается на понятие перпендикулярных прямых. Поэтому следует предварительно повторить следующие вопросы:
а) две прямые перпендикулярны, если угол между ними прямой;
б) через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой;
в) как провести перпендикуляр к прямой с помощью угольника?
При изучении темы используется опыт учащихся, рассматриваются примеры из окружающей среды: изображения букв, машин, рисунков животных и др.
В 6 классе рассматривается при изучении темы «Ось симметрии» осевая симметрия фигур, а не симметрия всей плоскости.
Вводится определение фигуры, симметричной относительно прямой. Ученики называют симметричными относительно прямой (оси) фигуры, которые совмещаются при перегибании листа бумаги по этой прямой. Прямую, по которой перегибают лист бумаги, называют осью симметрии.
С помощью наглядных пособий выясняется, какие из известных фигур имеют оси симметрии.
Рис. 15 . Оси симметрии некоторых фигур
Прямая l делит этот отрезок пополам.
Обращается внимание на то, что ось симметрии часто встречается в предметах окружающей действительности, в природе.
При изучении осевой симметрии возникает задача научиться строить фигуры, симметричные относительно оси. Умение и навык построения таких фигур достигается с помощью решения задач, выполнения практических работ. При составлении задач ось симметрии следует располагать по-разному относительно фигуры [7].
Полезно учащимся научиться вырезать из бумаги фигуры, симметричные относительно прямой l .
В процессе решения задач учащиеся убеждаются, что:
Симметричные относительно оси фигуры равны между собой;
Симметричные фигуры состоят из попарно симметричных относительно оси точек;
Осевая симметрия имеет неподвижные прямые – это ось симметрии и прямые, перпендикулярные ей.
В процессе решения задач выявляют еще одно свойство симметрии: симметричные относительно оси точки равноудалены от любой точки оси симметрии.
Дальнейшее развитие в 6 классе получает измерение величин. Учащиеся знакомятся с понятием длины окружности, площади круга. Здесь следует показать учащимся разные способы вычисления площади круга.